Stichpunkte

Allgemein
	Monty-Hall-Problem oder Monty-Hall-Dilemma bekannt) dient zur Veranschaulichung eines "Problems" aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung und der Schwierigkeiten im Verständnis der bedingten Wahrscheinlichkeiten. Inhaltsverzeichnis showTocToggle("Anzeigen"
	"Verbergen") 1 Problem 2 Erklärung 2.1 Schema 2.2 Erklärung mit Hilfe des Bayesschen Theorems 3 Literatur 4 Weblinks [Bearbeiten]
	Das Ziegenproblem (auch als Drei-Türen-Problem
Problem
	Bei einer Spielshow (wie z.B
	Geh aufs Ganze) soll ein Kandidat eines von drei aufgebauten Toren auswählen
	Hinter einem verbirgt sich der Gewinn
	ein Auto
	hinter den anderen beiden jeweils eine Ziege
	also Nieten
	Der Spielablauf ist immer gleich: Der Kandidat wählt zufällig ein Tor aus. Daraufhin öffnet der Moderator
	um seine Gewinnchance zu maximieren? [Bearbeiten]
	eines der beiden anderen Tore
	der die Position des Gewinns kennt
	hinter dem sich eine Ziege befindet. Der Moderator bietet dem Kandidaten an
	seine Entscheidung zu überdenken und das andere Tor zu wählen. Wie soll der Kandidat sich entscheiden
Erklärung
	dass es keinen Unterschied macht zu wechseln oder bei der getroffenen Entscheidung zu bleiben
	Auch wenn die allermeisten Menschen dazu neigen
	davon auszugehen
	ist diese Annahme falsch
	beträgt 1/3
	Die Wahrscheinlichkeit
	dass es hinter einem der anderen beiden steht
	dass sich das Auto hinter dem zunächst gewählten Tor befindet
	1/3 + 1/3 = 2/3
	hinter welchem Tor das Auto nicht steht
	das ausgewählte Tor aber immer noch eine 1/3-Chance hat - siehe weiter unten
	liegt jetzt die 2/3-Wahrscheinlichkeit auf dem nichtgewählten Tor
	Wenn nun klar ist
	dieses also die Wahrscheinlichkeit 0 hat
	Bei einem Wechsel verdoppelt der Kandidat also seine Chancen auf das Auto
	dass die Chance auf dem gewählten Tor von Anfang an nur 1/3 betrug
	Um das Problem zu verstehen
	muss man bedenken
	und sich beim Festhalten des Spielers an seiner Wahl auch nicht ändern kann - unabhängig ob der Showmaster ein Ziegentor öffnet oder nicht - andererseits die Wahrscheinlichkeitssumme aller Auswahlmöglichkeiten 1 beträgt. Oder anders: In 2/3 aller Fälle hat der Kandidat eine Tür mit einer Ziege ausgewählt
	Der Moderator muss auf jeden Fall eine Tür mit einer Ziege öffnen
	Das heißt
	dass in 2/3 aller Fälle die verbliebene Tür den Preis enthalten muss
	Daher ist ein Wechsel stets sinnvoll
	denn nur in 1/3 der Fälle hat der Kandidat am Anfang die richtige Tür genannt
	und ein Wechsel würde zum Verlust des Preises führen
	Ein typischer Grund für das Finden einer falschen Antwort ist ein falsches Verständnis von der Rolle des Moderators
	Es wird oft fälschlicherweise angenommen
	dass dieser irgendeine der anderen beiden Türen öffnet
	wobei dann zufällig die Ziege zum Vorschein kommt
	dann wäre es tatsächlich egal
	ob man wechselt
	Wäre dies so
	Dann würde aber auch mit der Wahrscheinlichkeit 1/3 das Auto vom Moderator selbst gezeigt werden
	und die anderen beiden Türen hätten (nach wie vor) die anderen beiden Drittel Wahrscheinlichkeit
	die nicht das Auto enthält
	Laut Aufgabenstellung muss er aber auf jeden Fall eine Tür öffnen
	das Auto nicht zu offenbaren)
	dem Kandidaten zu helfen
	dass sie - durch die Vorgabe des Spiels - gezwungen sind
	Würde man die Aufgabe des Türöffnens einem anderen Mitspieler oder einer Maschine geben (mit der Prämisse
	da man bei ihnen eher als bei einem Moderator akzeptiert
	wäre der Zusammenhang unter Umständen verständlicher
	Genau dies aber geschieht in 2/3 der Fälle durch Öffnen der jeweils anderen Tür. [Bearbeiten]
Schema
	durch einen Wechsel von C auf B (oder A) verliert er
	die Ziege A (oder B) wird ihm gezeigt
	die Ziege B wird ihm gezeigt
	die Ziege A wird ihm gezeigt
	durch einen Wechsel von B auf C gewinnt er. A B C Ziege Ziege Auto -----/ -----/ -----/ Kandidat Der Kandidat wählt vorerst C
	anhand der drei vom Kandidaten gewählten Türen: A B C Ziege Ziege Auto -----/ -----/ -----/ Kandidat Der Kandidat wählt vorerst A
	Bei einer "Immer - Wechsel"-Strategie zeigen sich drei Fälle
	durch einen Wechsel von A auf C gewinnt er. A B C Ziege Ziege Auto -----/ -----/ -----/ Kandidat Der Kandidat wählt vorerst B
	Ergo: er gewinnt in zwei von drei Fällen durch einen Wechsel
	zu übersehen: Ein Entscheidungsbaum
	die zur Verfügung stehen
	Beim Schätzen und Berechnen von Wahrscheinlichkeiten ist es wichtig
	keine Informationen
	der Satz von Bayes oder die Angabe in absoluten Häufigkeiten machen das leichter. [Bearbeiten]
Erklärung mit Hilfe des Bayesschen Theorems
	... MA: Der Moderator hat das Tor A geöffnet
	... Es soll beispielsweise die Situation vorliegen: Der Kandidat hat Tor A gewählt
	und der Moderator hat daraufhin das Tor B geöffnet
	Es sind die Ereignisse definiert: KA: Der Kandidat hat das Tor A gewählt
	... GA: Der Gewinn ist im Tor A
	dass das Auto hinter Tor C ist? Gesucht ist also die bedingte Wahrscheinlichkeit P(GC|MB)
	dass es nicht hinter Tor B ist
	wenn bekannt ist
	Lohnt es sich für K zu wechseln? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
	dass das Auto hinter Tor C ist
	Man kann diese Wahrscheinlichkeit mit dem Bayesschen Theorem ermitteln: <math>P(G_C|M_B) = frac{P(M_B cap G_C)}{P(M_B)} = <math> <math> frac{P(M_B|G_C)P(G_C)}{P(M_B|G_A)P(G_A)+P(M_B|G_B)P(G_B)+P(M_B|G_C)P(G_C)} = <math> <math> frac{ 1 cdot frac{1}{3} } { frac{1} {2} cdot frac{1}{3} + 0 cdot frac{1}{3} + 1 cdot frac{1}{3}} = frac{frac{1}{3} }{ frac{1}{6} + 0 + frac{1}{3}} = frac{2}{3} ; .<math> Es ist dem Kandidaten also zu empfehlen zu wechseln
	dass der menschliche Verstand zu Trugschlüssen neigt
	wenn es um das Schätzen von Wahrscheinlichkeiten geht. [Bearbeiten]
	Das Ziegenproblem wird oft als Beispiel dafür herangezogen
Literatur
	Gero von Randow: Das Ziegenproblem - Denken in Wahrscheinlichkeiten
	Rowohlt
	Reinbek 1992
	ISBN 3-499-19337-X [Bearbeiten]
Weblinks
	http://www.mister-mueller.de/mathe/beispiele/ziege/ziegenproblem.html - recht anschauliche Beschreibung http://www.mathematik.uni-osnabrueck.de/staff/phpages/koch/ziegen/ - diese ist etwas mathematischer [1] (http://groups.google.com/groups?q=entscheidungsbaum&start=10&hl=en&lr=&ie=UTF-8&oe=utf-8&selm=1991Sep11.104010.19269%40uni-paderborn.de&rnum=20) groups.google.com Darstellung mit einem Entscheidungsbaum http://www.zeit.de/2004/48/N-Ziegenproblem en:Monty Hall problem he:הבעיה של מונטי הול hu:Monty Hall-paradoxon ja:モンティ・ホール�題

Dieser Artikel basiert auf dem Artikel Ziegenproblem aus der freien Enzyklopädie wikipedia und steht unter der GNU Lizenz für freie Dokumentation. In der wikipedia ist eine Liste der Autoren verfügbar.