Stichpunkte

Allgemein
	Ursprünglich ist die Zahlentheorie der Bereich der reinen Mathematik
	der sich mit den Eigenschaften der ganzen Zahlen beschäftigt
	ist oftmals deren Lösung äußerst kompliziert und etliche Probleme sind bis heute noch ungelöst
	Obwohl viele Fragestellungen der Zahlentheorie selbst für Laien leicht verständlich sind
	Allgemeiner betrachtet die Zahlentheorie auch Probleme die sich auf natürliche Weise aus der Betrachtung der ganzen Zahlen ergeben haben
	Einen Überblick über die zahlentheoretischen Artikel in der Wikipedia gibt es in der Liste zahlentheoretischer Artikel. Inhaltsverzeichnis showTocToggle("Anzeigen"
	"Verbergen") 1 Arbeitsgebiete 2 Geschichte der Zahlentheorie 3 Wichtige Zahlentheoretiker 4 Literatur [Bearbeiten]
Arbeitsgebiete
	Je nach Fragestellung und Anwendungsmethoden wird die Zahlentheorie in folgende Arbeitsgebiete unterteilt
	Die elementare Zahlentheorie kommt ohne die Hilfsmittel anderer mathematischer Teilgebiete aus
	der Euklidische Algorithmus zur Berechnung des größten gemeinsamen Teilers
	Verfahren zu Faktorisierung von Zahlen in ihre Primfaktorzerlegung
	sowie Untersuchungen zu vollkommenen Zahlen und Kongruenzen
	In diesen Bereich fallen Fragen der Teilbarkeit
	Typische Sätze sind der kleine Satz von Fermat und dessen Verallgemeinerung
	sowie der Chinesische Restsatz und das Quadratische Reziprozitätsgesetz
	der Satz von Euler
	wie etwa die Möbiusfunktion und die Eulersche Phi-Funktion sowie Zahlenfolgen
	Des weiteren werden zahlentheoretische Funktionen
	wie beispielsweise Fakultät und Fibonacci-Zahlen untersucht
	Die analytische Zahlentheorie nutzt Elemente der Analysis und der Funktionentheorie
	Der Primzahlsatz und die Riemannsche Vermutung sind wichtige Beispiele
	wie z.B. das Waringsche Problem (Darstellung einer ganzen Zahl als Summe von Quadraten
	Kuben etc.)
	Aber auch Problemstellungen der elementaren Zahlentheorie werden oftmals mit analytischen Methoden angegangen
	die Vermutung über die Primzahlzwillinge (Gibt es unendlich viele Primzahlpaare mit Abstand 2?) und die Goldbachsche Vermutung (Kann jede gerade Zahl als Summe zweier Primzahlen geschrieben werden?)
	die Transzendenz von Zahlen wie der Kreiszahl π oder der Eulerschen Zahl e nachzuweisen
	Daneben dienen Methoden der analytischen Zahlentheorie auch dazu
	das sind Wurzeln von Polynomen mit rationalen Koeffizienten
	Die algebraische Zahlentheorie geht über die ganzen Zahlen hinaus und betrachtet den Körper der algebraischen Zahlen
	den Ring der ganzalgebraischen Zahlen
	Diese Zahlen enthalten eine den ganzen Zahlen analoge Teilmenge
	Etliche vertraute Eigenschaften der ganzen Zahlen gelten hier aber nicht mehr (etwa die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung oder die Existenz eines größten gemeinsamen Teilers). Oftmals stellt es sich als fruchtbar heraus
	Fragen modulo aller Primzahlen p zu betrachten
	den man Lokalisation nennt
	Dieser Vorgang
	führt zu den p-adischen Zahlen
	der mit Hilfe von Elliptischen Kurven bewiesen wurde
	Bekanntester Satz ist der große Fermatsche Satz
	steht der Minkowskische Gitterpunktsatz
	eine Aussage über Gitter und konvexe Mengen
	Im Zentrum der geometrische Zahlentheorie
	auch Geometrie der Zahlen genannt
	Fragen der dichtesten Packung von Kugeln und Fragen über Elliptische Kurven werden ebenfalls behandelt
	Die algorithmische Zahlentheorie ist ein Zweig der Zahlentheorie
	der mit dem Aufkommen von Computern auf breites Interesse stieß
	Die algorithmische Zahlentheorie beschäftigt sich damit
	wie zahlentheoretische Probleme algorithmisch effizient umgesetzt werden können
	Wichtigste Fragestellungen sind die Frage
	die Faktorisierung großer Zahlen und der eng damit verbundenen Frage nach einer effizienten Berechnung des diskreten Logarithmus
	ob eine große Zahl prim ist
	insbesondere bei der Frage nach der Sicherheit der Datenübertragung im Internet. [Bearbeiten]
	Anwendungen finden sich in der Kryptographie
Geschichte der Zahlentheorie
	Die ersten schriftlichen Nachweise der Zahlentheorie reichen bis ca
	2000 v
	Chr. zurück
	sowie Quadrate und den Satz des Pythagoras
	Die Babylonier kannten in dieser Zeit bereits die Zahlen kleiner einer Million
	Im antiken Griechenland fand die Zahlentheorie dann zu einer neuen Blüte
	vor allem durch zwei Leute
	nämlich Euklid und Diophantus
	Ersterer lebte ca
	einem 13-bändigen Werk
	200 Jahre vor Christus und ist der Verfasser der "Elemente"
	einem Verfahren zur Berechnung des größten gemeinsamen Teilers (Euklidischer Algorithmus) und einem Satz über die Existenz unendlich vieler Primzahlen (Satz von Euklid)
	Die Bände 7
	u.a. der Definition der Primzahl
	8 und 9 beschäftigen sich dabei mit zahlentheoretischen Fragestellungen
	Diophantus lebte vermutlich etwa 300 Jahre nach Christus
	Er beschäftigte sich in seinem Werk "Arithmetica" mit den Lösungsmengen von unterschiedlichen algebraischen Gleichungen
	Derartige Gleichungen sind uns heute unter dem Namen Diophantsche Gleichungen bekannt
	Im 17
	welcher durch Diophantus' Werk stark inspiriert wurde
	Jahrhundert lebte Pierre de Fermat
	Wird noch weiter ergänzt... [Bearbeiten]
Wichtige Zahlentheoretiker
	Diophant von Alexandrien Euklid Marin Mersenne Pierre de Fermat Leonhard Euler Carl Friedrich Gauß Joseph-Louis Lagrange Adrien-Marie Legendre Carl Gustav Jacob Jacobi Peter Gustav Lejeune Dirichlet Bernhard Riemann Andrew Wiles Helmut Hasse Paul Erdös Diese Sammlung sollte noch erweitert werden. [Bearbeiten]
Literatur
	G.H
	E.M
	Hardy
	Wright: An introduction to the theory of numbers
	ISBN 0198531710 John H
	Oxford University Press
	Conway
	Richard K
	Guy: The Book of Numbers
	ISBN 0-387-97993-X Siehe auch: Ungelöste Probleme der Mathematik ca:Teoria dels nombres da:Talteori en:Number theory eo:Nombroteorio es:Teoría de números fr:Théorie des nombres gl:Teoría de números he:תורת המספרי×? hu:Számelmélet id:Teori bilangan it:Teoria dei numeri ja:æ•°è«– nl:Getaltheorie pl:Teoria liczb pt:Teoria dos números ru:ТеориÑ? чиÑ?ел sl:Teorija Å¡tevil sv:Talteori zh:数论

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