Stichpunkte

Allgemein
	Ganz allgemein ist eine zahlentheoretische Funktion eine Funktion von N nach C
	die eine gewisse Bedeutung für die Zahlentheorie haben
	In der Regel interessiert man sich aber nur für solche Funktionen
	Die zahlentheoretischen Funktionen bilden mit der komponentenweisen Addition und skalaren Multiplikation einen Vektorraum über C
	"Verbergen") 1 Beispiele 2 Multiplikative Funktionen 3 Additive Funktionen 4 Faltung [Bearbeiten]
	Bezüglich der komponentenweisen Addition und der Faltung (siehe unten) bilden die zahlentheoretischen Funktionen einen Integritätsring. Inhaltsverzeichnis showTocToggle("Anzeigen"
Beispiele
	Die Teileranzahlfunktion <math>tau(n):=sum_{d|n}1<math> die die Anzahl aller Teiler einer Zahl angibt
	Die Teilersummenfunktion <math>sigma(n):=sum_{d|n}d<math> die die Summe aller Teiler einer Zahl angibt
	Die Eulersche φ-Funktion <math>phi(n):=#{din{1
	n}:mbox{ggT}(d
	n)=1}<math>
	dots
	die die Anzahl der zu n teilerfremden Zahlen angibt
	die die Anzahl der Primzahlen kleinergleich n angibt
	Die Primzahlfunktion <math>pi(n)=#{pleq n}<math>
	Die Möbiussche μ-Funktion (siehe Abschnitt über Faltung) Die p-adische Exponentenbewertung <math>nu_p(n)<math>. [Bearbeiten]
Multiplikative Funktionen
	b teilerfremd
	Eine Funktion heißt multiplikativ
	wenn gilt: f(ab)=f(a)·f(b) für a
	Sie heißt streng multiplikativ
	wenn man die zusätzliche Bedingung der Teilerfremdheit weglassen kann
	Beispiele für multiplikative Funktionen sind die Teileranzahlfunktion
	die Teilersummenfunktion und die eulersche φ-Funktion
	Streng multiplikativ ist beispielsweise die Identität
	Für multiplikative Funktionen hat man die folgende charakterisierende Eigenschaft: <math>f<math> multiplikativ <math>iff f(n)=prod_{pinmathbb{P}}fleft(p^{nu_p(n)}right)<math> [Bearbeiten]
Additive Funktionen
	Eine Funktion heißt additiv
	b teilerfremd
	wenn gilt: f(ab)=f(a)+f(b) für a
	wenn man die zusätzliche Bedingung der Teilerfremdheit weglassen kann
	Sie heißt streng additiv
	Ein Beispiel für eine additive Funktion ist die p-adische Exponentenbewertung
	indem man das Ergebnis logarithmiert
	Aus jeder multiplikativen Funktion lässt sich eine additive Funktion konstruieren
	Präziser: Wenn f (streng) multiplikativ ist
	so ist <math>logcirc f<math> eine (streng) additive Funktion. [Bearbeiten]
Faltung
	Die Faltung zweier Funktionen ist definiert als <math>(f*g)(n):=sum_{d|n}f(frac{n}{d})g(d)<math> Die Funktion F:=f*1 bezeichnet man als die summatorische Funktion von f
	indem man F*μ berechnet
	Dabei bezeichnet 1 die Funktion
	die konstant 1 ist. In diesem Zusammenhang ist die (multiplikative) Möbiussche μ-Funktion interessant: <math>mu(n):=left{begin{matrix} 1 & mbox{für } n=1\ (-1)^k & mbox{falls } n=p_1dots p_k & mbox{mit von einander verschiedenen Primzahlen } p_i\ 0 & mbox{sonst}\ end{matrix}right.<math> Mit Hilfe der Möbiusschen μ-Funktion kann man aus der summatorischen Funktion F die ursprüngliche Funktion f zurückgewinnen
	Siehe auch den allgemeineren Artikel Faltung (Mathematik). en:Arithmetic function ko:수론ì ? 함수 sl:AritmetiÄ?na funkcija sv:Aritmetisk funktion

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