Stichpunkte

Allgemein
	Ein Zahlensystem wird zur Darstellung von Zahlen verwendet
	Eine Zahl wird dabei nach den Regeln des Zahlensystems als Folge von Ziffern dargestellt
	Man unterscheidet im Wesentlichen zwischen Additionssystemen und Stellenwertsystemen (Positionssystemen). [Bearbeiten]
Additionssysteme
	In einem Additionssystem wird eine Zahl als Summe der Werte ihrer Ziffern dargestellt
	Ein Beispiel sind die römisch-etruskischen Zahlen mit den Ziffern I 1 V 5 X 10 L 50 C 100 D 500 M 1000 Die Ziffern werden mit abnehmender Wertigkeit geschrieben und addiert
	2002 wird zum Beispiel als MMII dargestellt
	so dass Ziffern nur dreimal hintereinander auftreten dürfen
	wurde das System später modifiziert
	Da solche Zahlen sehr lang werden können
	wird von dieser abgezogen
	Eine kleinere Ziffer die vor einer größeren steht
	So wurde VIIII zu IX
	da die Zeichenfolge IV als Kürzel für den höchsten Gott Jupiter reserviert war
	sondern als IIII geschrieben (auf Uhren ist diese Schreibweise bis heute üblich)
	Abweichend von dieser Regel (und dem heute weit verbreiteten Gebrauch) wurde die 4 von den Römern nicht als IV
	Das römische Zahlensystem wurde bis ins 15
	Jahrhundert allgemein in Europa verwendet. [Bearbeiten]
Stellenwertsysteme
	In einem Stellenwertsystem (Positionssystem) impliziert die Stelle (Position) den Wert der jeweiligen Ziffer
	Die 'niederwertigste' Position steht dabei im Allgemeinen rechts
	sowie Ziffern
	die von 0 bis b-1 laufen
	Ein Stellenwertsystem hat eine Basis b
	der einer Potenz der Basis entspricht
	Die Ziffernposition hat einen Wert
	Für die n-te Position hat man einen Wert von bn-1
	und den Ziffern 0
	8 und 9
	4
	5
	3
	7
	Das bekannteste und verbreitetste Zahlensystem ist das Dezimalsystem (oder 10er-System) mit Basis 10
	2
	1
	6
	In ihm entspricht jeder Ziffernposition eine Zehnerpotenz
	die 5 mit 101 = 10
	Beispielsweise bedeutet die Ziffernfolge 6857
	dass die 7 mit 100 = 1
	so dass man 6000 + 800 + 50 + 7 erhält
	die 8 mit 102 = 100 und die 6 mit 103 = 1000 gewichtet wird
	Das Dezimalsystem stammt ursprünglich aus Indien
	das er im 8
	Der persische Mathematiker Muhammad ibn Musa al-Chwarizmi verwendete es in seinem Arithmetikbuch
	Jahrhundert schrieb
	Bereits im 10
	damals noch ohne Null
	Jahrhundert wurde das System in Europa eingeführt
	Durchsetzen konnte es sich jedoch erst im 12
	Jahrhundert mit der Ãœbersetzung des genannten Arithmetikbuchs ins Lateinische
	Siehe auch das Vigesimalsystem mit der Basis 20
	Im 17
	ein
	Jahrhundert führte der Mathematiker Gottfried Wilhelm Leibniz mit der Dyadik das Dualsystem (ein binäres Zahlensystem)
	also das Stellenwertsystem mit der Basis 2 und den Ziffern 0 und 1
	Dieses wird vor allem in der Informationstechnik verwendet
	da in diesen System viele Berechnungen einfacher auszuführen sind als in anderen Systemen
	Die Werte der Stellen sind dann 20 = 1 21 = 2 22 = 4 23 = 8 24 = 16 25 = 32 u.s.w
	Demnach entspricht 1011b = 11 1 * 23 + 0 * 22 + 1 * 21 + 1 * 20 1 * 8 + 0 * 4 + 1 * 2 + 1 * 1 = 11 Da große binäre Zahlen unübersichtlich lang sind
	4
	A
	E und F) arbeiten
	5
	6
	7
	C
	1
	werden zur Darstellung oft Hexadezimalzahlen verwendet
	9
	D
	B
	8
	die mit der Basis 16 (und den Ziffern 0
	2
	3
	da 4 Stellen einer binären Zahl gerade einer Stelle einer hexadezimalen Zahl entsprechen
	Hexadezimale Zahlen und binäre Zahlen lassen sich leicht ineinander umwandeln
	das Oktalsystem und das Hexadezimalsystem verwendet. Das Duodezimalsystem hat als Basis die 12
	In der Computertechnik werden das Binärsystem
	Wir finden es in der Rechnung mit Dutzend und Gros und im angelsächsischen Maßsystem (1 Shilling = 12 Pence) (siehe auch Alte Maße und Gewichte)
	Auch die Stundenzählung hat in diesem System ihren Ursprung
	In vielen polytheistischen Religionen gab es 12 Hauptgötter
	die sich z. B. im alten Ägypten in 3 oberste Götter und 3*3 zugeordnete Götter aufteilten. (Die 3 galt als perfekte Zahl; siehe auch Dreifaltigkeit)
	Die Babylonier benutzten ein Zahlensystem mit einer Basis von 60 (Sexagesimalsystem; siehe auch Geschichte von Maßen und Gewichten)
	Bei einigen Naturvölkern sind auch noch Zahlensysteme zu anderen Basen gefunden worden
	Vergleichsweise weit verbreitet ist das System zur Basis 20
	Bei diesen Völkern werden in der Regel zum Zählen neben den Fingern auch noch die Füße verwendet
	die nur eine Hand zum Zählen benutzen
	wurde aber bisher nirgendwo entdeckt
	Das analog zu erwartende Zahlensystem zur Basis fünf bei Völkern
	In Neuseeland war hingegen das System zur Basis 11 üblich und einige Völker benutzen das System zur Basis 18. Das Unärsystem wird gerne auf Bierdeckeln eingesetzt (die Zahl n dezimal wird durch n Striche dargestellt)
	Das Unärsystem braucht für die Darstellung großer Zahlen jedoch viel Platz
	Mit der Beschränkung des niedrigsten Exponenten auf 0 kann man nur Ganze Zahlen darstellen
	beispielsweise ein Komma: 1234
	kann man auch rationale Zahlen in einem Stellenwertsystem schreiben
	wobei der Ãœbergang vom nichtnegativen zum negativen Exponenten durch ein Trennzeichen markiert wird
	Lässt man auch negative Exponenten zu
	56 = 1·103 + 2·102 + 3·101 + 4·100 + 5·10-1 + 6·10-2 Die Ziffern einer rationalen Zahl p/q erhält man durch das Verfahren der schriftlichen Division
	Im 10er-System spricht man auch von Dezimalbruch-Entwicklung
	bricht die schriftliche Division nicht ab
	sondern liefert eine sich wiederholende Folge von Ziffern
	Hat q zur Basis b teilerfremde Primfaktoren
	Diese wird Periode genannt und durch Ãœberstreichen gekennzeichnet
	z. B. <math>5/6 = 0{
	}83333ldots = 0{
	}8overline{3}<math>
	Die Basis b muss nicht notwendigerweise eine natürliche Zahl sein
	dass sämtliche komplexen Zahlen mit Betrag größer 1 als Basis eines Stellenwertsystems verwendet werden können
	Es wurde nachgewiesen
	Ebenso sind Zahlensysteme mit gemischten Basen möglich
	The Art of Computer Programming
	Beispiele hierfür findet man in Knuth
	Eine andere Darstellung für rationale und irrationale Zahlen ist der Kettenbruch
	welcher bessere Approximationen liefert als die Stellenwertsysteme
	Vorlage:Navigationsleiste Zahlensysteme be:СыÑ?Ñ‚Ñ?мы зьлічÑ?ньнÑ? da:Talsystem en:Numeral system es:Sistema de numeración fr:Système de numération he:שיטת ספירה ja:ä½?å?–り記数法 nl:Talstelsel no:Tallsystem ro:Bază de numeraÅ£ie ru:СиÑ?тема Ñ?чиÑ?лениÑ? sl:Å tevilski sistem sv:Talsystem zh:è¿›ä½?制

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