Folge (Mathematik)

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Folge (Mathematik)

Stichpunkte

Allgemein
	Eine in ihrer Anordnung festgelegte Auflistung von endlich oder unendlich vielen Zahlen heiÃŸt in der Mathematik Zahlenfolge oder kurz Folge
	heiÃŸen die Glieder der Folge
	Die einzelnen Zahlen
	aus denen die Folge zusammengesetzt ist
	In den meisten Anwendungen sind die Folgenglieder ganze
	rationale oder reelle Zahlen
	so dass die Folgenglieder Elemente eines beliebigen metrischen Raums sein dÃ¼rfen
	In der Funktionalanalysis wird der Begriff Folge erweitert
	"Verbergen") 1 Anwendungen 2 Formale Definition 3 Bildungsgesetz einer Folge 3.1 Angabe von Anfangsgliedern 3.2 Angabe einer Funktionsvorschrift 3.2.1 Daran anknÃ¼pfende Aufgaben (fÃ¼r SchÃ¼ler) 3.3 Angabe als Reihe 3.4 Angabe einer Rekursion 3.5 Angabe Ã¼ber einen Algorithmus 4 Charakterisierung von Folgen 4.1 Daran anknÃ¼pfende Aufgaben (insbesondere fÃ¼r SchÃ¼ler und StudienanfÃ¤nger) 4.1.1 Nachweis der Monotonie 4.1.2 Nachweis der BeschrÃ¤nktheit / Bestimmung einer Schranke 5 Wichtige Folgen 5.1 Arithmetische Folgen und Reihen 5.2 Folgen auf Basis der Potenzfunktion 5.3 Geometrische Folgen 6 Verallgemeinerungen 7 Noch nicht eingebaut 8 Weblinks [Bearbeiten]
	deren Glieder nicht Zahlen
	werden in einem eigenen Artikel Mengenfolge behandelt. Inhaltsverzeichnis showTocToggle("Anzeigen"
	Folgen
	sondern Mengen sind
Anwendungen
	Zeitreihen
	kÃ¶nnen mathematisch als Folgen aufgefasst werden
	wie sie zum Beispiel durch die Aufzeichnung von Temperaturbeobachtungen oder Wirtschaftsdaten entstehen
	In der Informatik kann man Felder (Arrays) als endliche Folgen auffassen
	Unendliche Folgen kÃ¶nnen gegen einen Grenzwert konvergieren
	Die Theorie der Grenzwerte unendlicher Folgen ist eine wichtige Grundlage der Analysis: auf ihr beruhen die Berechnung von Grenzwerten von Funktionen
	die Definition der Ableitung (Differentialquotient als Grenzwert einer Folge von Differenzenquotienten) und der Riemannsche Integralbegriff
	Wichtige Folgen erhÃ¤lt man als Koeffizienten von Taylorreihen stetiger Funktionen; manche elementare Funktionen wie tan x fÃ¼hren dabei auf recht exotische Folgen wie zum Beispiel die Bernoullischen oder Eulerschen Zahlen
	deren Glieder als Summen von Gliedern einer anderen Folge aufgefasst werden
	Eine Reihe ist eine Folge
	Reihen werden insbesondere zur sukzessiven Approximation irrationaler Zahlenwerte verwandt; siehe dazu den Artikel Reihe (Mathematik). [Bearbeiten]
Formale Definition
	Weil die Glieder einer Folge in ihrer Reihenfolge festgelegt sind
	eindeutig bezeichnet werden
	den Index
	kann jedes Glied durch eine Art "Hausnummer"
	Die Indizes entnimmt man fast immer der Menge der natÃ¼rlichen Zahlen N; je nach Anwendungsfall schlieÃŸt man dabei die Null ein (bei Bedarf explizit als Menge N0 notiert) oder nicht (Menge N+)
	Wie so oft
	end{matrix}<math> die jedem Index i aus der Indexmenge N ein Folgenglied ai aus der Zielmenge X zuordnet
	kehrt man in der formalen Definition die Logik der Begriffsentstehung um und erklÃ¤rt eine unendliche Folge als eine Funktion <math>begin{matrix}a:&mathbf{N} &to& X\ & i&mapsto&a_i
	In der Regel ist X ein metrischer Raum; in der Schulmathematik und in den wichtigsten AnwendungsfÃ¤llen ist X ganz konkret die Menge der reellen Zahlen R
	eine Folge mit runden oder spitzen Klammern als (ai) oder <ai> zu notieren; davon zu unterscheiden ist die Bildmenge der Folge {ai \| i aus N}. Beispiel: Die Folge 0
	n-1} oder aus der Menge {1
	1
	4
	2
	und zwar Ã¼blicherweise entweder aus der Menge {0
	1
	...
	n}. Randbemerkung: Diese WahlmÃ¶glichkeit spiegelt sich auch in der Computertechnik wieder: in Ã¤lteren (Fortran) oder didaktischen (Pascal) Programmiersprachen werden n-dimensionale Felder mit Indizes zwischen 1 und n adressiert; in den meisten Sprachen werden jedoch Indizes von 0 bis n-1 verwendet. Zur Notation: Es ist gebrÃ¤uchlich
	...
	FÃ¼r eine endliche Folge mit n Gliedern entnimmt man den Index statt aus N aus einer endlichen Menge
	0
	2
	0
	... }. [Bearbeiten]
	... hat die Bildmenge { 0
	4
Bildungsgesetz einer Folge
	Eine endliche Folge kann man angeben
	indem man sÃ¤mtliche Folgenglieder nennt
	Bei einer unendlichen Folge geht das offensichtlich nicht; stattdessen muss man das Bildungsgesetz der Folge in anderer Form mitteilen
	deren Bildungsgesetz sich als Funktionsvorschrift oder Rekursion mitteilen lassen
	werden zuweilen regelmÃ¤ÃŸige Folgen genannt
	Folgen
	dass die Angabe einer Funktionsvorschrift nach derzeitigem mathematischen Wissen aufwendig ist oder/und Ã¼ber algorithmische Vorschriften erfolgt
	Dies ist jedoch keine mathematisch strenge Klassifikation
	da letzten Endes jede Folge
	eine Funktionsvorschrift besitzt; bei unregelmÃ¤ÃŸigen Folgen lÃ¤sst sich lediglich sagen
	die Ã¼berhaupt wohldefiniert ist
	die mit der Ã¼blichen Notation nicht in funktionaler Form dargestellt werden kÃ¶nnen. [Diese Thematik hÃ¤ngt mit der schwierigen Frage der Berechenbarkeit zusammen]. [Bearbeiten]
Angabe von Anfangsgliedern
	Die in manchen Intelligenztests gestellte Aufgabe
	eine Folge fortzusetzen
	ist aus mathematischer Sicht problematisch: durch noch so viele Anfangsglieder ist der weitere Verlauf einer Folge nicht eindeutig festgelegt
	deren erste Glieder gegeben sind
	Es gibt nur mehr oder weniger plausible Fortsetzungen
	1
	Beispiele: Gegeben ist 0
	3
	2
	...
	6
	Am plausibelsten ist die Fortsetzung 4
	also die Folge aller natÃ¼rlichen Zahlen
	5
	1
	2
	3
	....
	0
	also als die periodische Folge der natÃ¼rlichen Zahlen modulo 4
	MÃ¶glich ist aber auch die Fortsetzung 0
	-2147483646
	-2147483645
	3
	...
	1
	2
	...
	In einem Computer werden ganze Zahlen oft mit 32 Bit
	-1 und periodisch weiter
	also modulo 231 dargestellt; beim sukzessiven ErhÃ¶hen eines Registers durchlÃ¤uft man dann die Zahlenfolge 0
	2147483647
	6
	1
	1
	Ein mathematisch unvorgebildeter Proband nennt fÃ¼r die Zahlenfolge 3
	..
	1
	5 als plausibelste Fortsetzung 1
	4
	7
	Andere wÃ¼rden die Dezimaldarstellung der Kreiszahl π wiedererkennen und die Fortsetzung 9
	2
	6
	... vorschlagen. Die Online-EnzyklopÃ¤die der Zahlenfolgen (http://www.research.att.com/~njas/sequences/indexgerman.html) (OEIS) enthÃ¤lt tausende mathematisch relevanter Folgen; darin kann man nach einer gegebenen Teilfolge suchen
	trennt man die Folgenglieder zweckmÃ¤ÃŸigerweise durch ein Semikolon anstelle des sonst meist verwendeten Kommas
	also z.B
	Zur Notation: Wenn eine Folge nichtganze Zahlen enthÃ¤lt und Folgenglieder als Dezimalzahlen angegeben werden sollen
	5; 0
	25; 0
	1; 0
	125; ... [Bearbeiten]
Angabe einer Funktionsvorschrift
	FÃ¼r viele
	aber keineswegs alle Folgen kann man die Funktionsvorschrift <math>imapsto a_i<math> als eine geschlossene Gleichung angeben
	2
	1
	3
	..
	In den folgenden Beispielen legen wir Indizes aus der Menge N0 zugrunde: Die Folge der natÃ¼rlichen Zahlen 0
	Dieses Beispiel ist speziell
	4
	... <math>a_i = 2^i.<math> [Bearbeiten]
	weil die Werte von Folgenglied und Index Ã¼bereinstimmen; die Funktionsvorschrift lautet einfach <math>a_i = i.<math> Die Folge der ungeraden Zahlen 1
	.... hat die Funktionsvorschrift <math>a_i = 2i+1.<math> Die Folge der Zweierpotenzen 1
	7
	2
	3
	5
	8
Daran anknÃ¼pfende Aufgaben (fÃ¼r SchÃ¼ler)
	und berechnet auf diese Weise die Folgenglieder a0
	zu einer gegebenen Funktionsvorschrift die Anfangsglieder zu bestimmen
	i=1
	ist leicht: man nimmt nacheinander die Werte i=0
	setzt sie jeweils in die Funktionsvorschrift ein
	a1
	a2 usw
	i=2 usw.
	Die Aufgabe
	Zweck dieser Rechnung ist es
	sich ein erstes Bild vom Verlauf einer Folge zu machen
	Aber Achtung: eine Folge kann fÃ¼r wirklich groÃŸe Indizes einen ganz anderen Verlauf nehmen als nach den ersten zehn oder hundert Gliedern zu erwarten
	Beispiel: die Folge ai = 1 / (1 + (i-1000)2)
	wie man durch Einsetzen hÃ¶herer Zehnerpotenzen Ã¼berprÃ¼fen kann
	die bis i=1000 monoton zunimmt
	dann aber wieder abnimmt
	Die Umkehraufgabe
	zu gegebenen Anfangsgliedern eine Funktionsvorschrift zu bestimmen
	ist dagegen deutlich schwieriger
	Streng genommen kann es gar keine eindeutige LÃ¶sung geben
	denn jeder Folgenanfang lÃ¤sst sich ja in verschiedener Weise fortsetzen (siehe dazu oben)
	a1
	deren Glieder a0
	In der Praxis wird diese Aufgabe daher nur fÃ¼r Folgen gestellt
	1
	a2 usw. in einigermaÃŸen Ã¼berschaubarer Weise vom Index i=0
	... abhÃ¤ngen
	2
	Im einzelnen prÃ¼fe man: Ist die Folge alternierend? Wenn ja
	bekommt man das richtige Vorzeichen durch einen Faktor (-1)i in der Funktionsvorschrift
	4
	... hat die Vorschrift ai=(-1)i i
	2
	-3
	-1
	Beispiel: 0
	Sind die Folgeglieder BrÃ¼che? Wenn ja
	konstruiere man unabhÃ¤ngig voneinander Funktionsvorschriften fÃ¼r ZÃ¤hler und Nenner
	Beispiel: 1/1
	4/8
	2/2
	... hat die Vorschrift ai=(i+1)/2i
	3/4
	hat man eine arithmetische Folge ai=a0+di
	mit d<0)? Wenn ja
	Nehmen die Folgenglieder um konstante Differenzen d zu (oder ab
	5
	7
	... hat die Vorschrift ai=1+2i
	Beispiel: 1
	3
	GenÃ¼gen die Differenzen zwischen aufeinander folgenden Glieder einem einfacheren Bildungsgesetz als die Folgeglieder selbst? Wenn ja
	kann man die Folge als eine Reihe auffassen (siehe dazu unten)
	3
	..
	4
	... lauten die Differenzen 1
	3
	6
	Beispiel: FÃ¼r 1
	15
	2
	10
	hat man eine geometrische Folge ai=a0 qi
	Stehen aufeinander folgende Folgenglieder in einem konstanten VerhÃ¤ltnis 1:q zueinander? Wenn ja
	8)i. Erschwert wird die Suche nach einer Funktionsvorschrift dadurch
	dass die ersten ein oder zwei Folgenglieder (zu den Indizes 0 und 1) oft aus dem Rahmen zu fallen scheinen
	Beispiel: Die Folge 100; 80; 64; 51
	8 ab; also lautet die Vorschrift ai=100·(0
	2; ... nimmt von Glied zu Glied um einen Faktor 0
	Das liegt daran
	sondern sofort ausgerechnet werden
	dass ein Summand 0
	ein Faktor 1 oder Exponent 0 oder 1 in aller Regel nicht ausgeschrieben
	3/4
	3/4
	... die Funktionsvorschrift beim besten Willen nicht mehr anzusehen. [Bearbeiten]
	In der gekÃ¼rzten Form 1
	1
	4/8
	1/2
	2/2
	... ist dem oben genannten Beispiel 1/1
Angabe als Reihe
	immer und Ã¼berall gleich sind: der mit Hilfe des Summenzeichens geschriebene Ausdruck <math>sum_{i=0}^n a_i<math> ist nichts anderes als eine AbkÃ¼rzung fÃ¼r den Ausdruck <math>a_0+a_1+ldots+a_n<math>
	deren n-tes Glied als Summe der ersten n Glieder einer anderen Folge <ai> geschrieben werden kann
	Eine Folge <sn>
	heiÃŸt eine Reihe: <math>s_n=a_0+a_1+ldots+a_nequivsum_{i=0}^n a_i.<math> ErlÃ¤uterungen zur Notation: Das Ã„quivalenzzeichen &equiv; ist eine Art verstÃ¤rktes Gleichheitszeichen; es soll andeuten
	dass die beiden AusdrÃ¼cke <math>a_0+a_1+ldots+a_n<math> und <math>sum_{i=0}^n a_i<math> nicht nur in diesem speziellen Kontext
	sondern prinzipiell
	Innerhalb und auÃŸerhalb des Summenzeichens sind unterschiedliche Indizes zu verwenden
	Dass wir speziell n und i gewÃ¤hlt haben
	entspricht einer weit verbreiteten Konvention
	ist aber nicht zwingend
	muss ein konkreter Zahlenwert fÃ¼r den Index n vorgegeben werden
	Um <math>s_n=sum_{i=0}^n a_i<math> als konkreten Zahlenwert zu berechnen
	..
	indem man aus den Differenzen aufeinander folgender Glieder eine Folge <math>a_i = begin{cases}0 &mbox{wenn } i=0
	...
	\ s_i-s_{i-1} &mbox{sonst}end{cases}<math> konstruiert
	Im Gegensatz dazu ist der Index i kein von auÃŸen vorzugebender Input
	sondern durch die Summationsvorschrift selbst festgelegt: welches n auch immer gegeben ist
	fÃ¼r den "Laufindex" i muss man nacheinander die Werte 0
	n einsetzen und die Summe der zugehÃ¶rigen a0
	an berechnen. Man kann jede Folge <sn> als eine Reihe auffassen
	a1
	1
	Folge und Reihe sind also nicht scharf voneinander trennbar
	sondern deren zeitliche VerÃ¤nderungen
	was fÃ¼r die Auffassung der absoluten Werte als Glieder einer Reihe spricht
	Die Zeitreihen der Wirtschaftswissenschaftler sind eigentlich Folgen; viele ErklÃ¤rungsmodelle modellieren aber nicht absolute Werte
	wenn man die Summation fÃ¼r beliebige n ausfÃ¼hren kann
	Konkreten Nutzen bringt die Deutung einer Folge als Reihe
	Summationsformeln sind zum Beispiel bekannt fÃ¼r die arithmetische Reihe
	die geometrische Reihe. Siehe dazu den Artikel Summe
	Die Deutung einer unendlichen Folge als Reihe erleichtert es zu bestimmen
	ob und wenn ja gegen welchen Grenzwert die Folge konvergiert: fÃ¼r unendliche Reihen gibt es eigene Konvergenzkriterien
	Umgekehrt kann man aus der Konvergenz einer Reihe immer darauf schlieÃŸen
	dass die zugrundeliegende Folge gegen Null konvergiert. [Bearbeiten]
Angabe einer Rekursion
	Das Bildungsgesetz einer Folge kann auch rekursiv angegeben werden
	...
	ai-1 berechnet werden kann
	Dazu nennt man m Anfangswerte (mit m≥1; meistens ist m=1 oder m=2) sowie eine Vorschrift
	wie ein Folgenglied ai aus den vorhergehenden m Gliedern ai-m
	8
	die sich wesentlich einfacher durch eine Rekursionsvorschrift als durch eine Funktionsvorschrift beschreiben lÃ¤sst
	1
	2
	3
	..
	1
	Das bekannteste Beispiel fÃ¼r eine Folge
	ist die Fibonacci-Folge 0
	5
	FÃ¼r sie ist m=2: gegeben sind die zwei Anfangsglieder a0=0 und a1=1 sowie die Rekursionsvorschrift <math>a_i = a_{i-2} + a_{i-1}.<math> Die Funktionsvorschrift <math>a_i = {1 over sqrt{5}} left(left({1+sqrt{5} over 2}right)^i - left({1-sqrt{5} over 2}right)^iright) <math> steht in engem Zusammenhang mit dem goldenen Schnitt
	Beachte
	dass die ai alle ganzzahlig sind
	da sich die ungeraden Potenzen der √5 herauskÃ¼rzen
	FÃ¼r manche Folgen kann man umgekehrt aus der Funktionsvorschrift eine Rekursionsvorschrift ableiten
	...
	a_{i+1} = frac{a_i}2 + frac1{a_i}<math> definiert die Folge rationaler Zahlen 2
	17/12
	3/2
	die gegen âˆš2 konvergiert. [Bearbeiten]
	Zum Beispiel folgt fÃ¼r die geometrische Folge aus der Funktionsvorschrift <math>a_i = a_0 q^i<math> die Rekursionsvorschrift <math>a_i = q a_{i-1}.<math> Die Rekursion <math>a_1 = 2
Angabe Ã¼ber einen Algorithmus
	FÃ¼r manche Folgen gibt es eine klar definierte Konstruktionsvorschrift
	aber keine Funktionsvorschrift
	7
	..
	3
	5
	11
	Das bekannteste Beispiel ist die Folge der Primzahlen 2
	Es ist seit den alten Griechen (oder Indern ?) bekannt
	wie man immer weitere Glieder dieser Folge berechnet
	Es gibt jedoch keine Methode
	zu einem gegebenen i die i-te Primzahl anzugeben
	ohne zuvor die gesamte Folge von der ersten bis zur (i-1)-sten Primzahl zu berechnen (oder nachzuschlagen)
	die auf Primzahlen beruhen. [Bearbeiten]
	Wenn man nicht die zehnte oder die hundertste
	sondern die 1020ste Primzahl wissen mÃ¶chte
	macht das den Unterschied zwischen berechenbar und nicht berechenbar aus und hat weitreichende Implikationen fÃ¼r die Sicherheit von VerschlÃ¼sselungs- und Authentifizierungsalgorithmen
Charakterisierung von Folgen
	Wie Funktionen kann man auch Folgen Ã¼ber ihr Steigungsverhalten und ihren Bildbereich charakterisieren: Eine Folge heiÃŸt monoton steigend
	wenn sie von Glied zu Glied gleichbleibt oder zunimmt
	wenn also fÃ¼r alle i aus N gilt: ai ≤ ai+1
	Eine Folge heiÃŸt streng monoton steigend
	wenn sie von Glied zu Glied zunimmt
	wenn also fÃ¼r alle i aus N gilt: ai < ai+1
	Die Begriffe monoton fallend und streng monoton fallend sind analog definiert
	so dass fÃ¼r alle i aus N gilt: ai < S
	wenn sie eine obere Schranke S besitzt
	Eine Folge heiÃŸt nach oben beschrÃ¤nkt
	Die kleinste obere Schranke einer Folge heiÃŸt auch ihr Supremum
	untere Schranke und Infimum sind analog definiert
	Die Begriffe nach unten beschrÃ¤nkt
	heiÃŸt alternierend
	deren Werte abwechselnd positiv und negativ sind
	Eine Folge
	deren Glieder alle Ã¼bereinstimmen
	kÃ¶nnte man eine triviale oder konstante Folge nennen
	Eine Folge
	ob eine Folge einen Grenzwert hat
	heiÃŸt periodisch; es gibt eine PeriodenlÃ¤nge n
	und fÃ¼r alle i aus N gilt: ai = ai+n. In der Analysis gilt das Hauptinteresse der Frage
	Eine unendliche Folge
	die aus Wiederholungen einer endlichen Teilfolge besteht
	Siehe dazu den Artikel Grenzwert
	die gegen keinen Grenzwert konvergiert
	3/4
	... besitzt die HÃ¤ufungspunkte -1 und 1)
	7/8
	Eine unendliche Folge
	-5/6
	kann nichtsdestoweniger HÃ¤ufungspunkte besitzen (Beispiel: die Folge -1/2
	zu bestimmen
	ob und wenn ja gegen welchen Grenzwert sie konvergiert
	Die vorgenannte Charakterisierung einer Folge Ã¼ber ihr Steigungsverhalten und ihren Bildbereich kann helfen
	nach oben beschrÃ¤nkte Folge konvergiert
	Besonders nÃ¼tzlich ist folgender Satz: Eine monoton steigende
	und ihr Grenzwert stimmt mit ihrem Supremum Ã¼berein
	3/4
	... konvergiert gegen ihr Supremum 1
	Beispiel: die Folge 0
	2/3
	1/2
	nach unten beschrÃ¤nkte Folge konvergiert gegen ihr Infimum. [Bearbeiten]
	Eine monoton fallende
Daran anknÃ¼pfende Aufgaben (insbesondere fÃ¼r SchÃ¼ler und StudienanfÃ¤nger)
	eventuell auch Ã¼ber eine Rekursion gegeben. [Bearbeiten]
	sind die Folgen in der Regel Ã¼ber eine Funktionsvorschrift
	Wenn Aufgaben zur Monotonie oder/und BeschrÃ¤nktheit von Folgen gestellt werden
Nachweis der Monotonie
	setzt man ein paar Indizes in die Funktionsvorschrift ein
	berechnet die zugehÃ¶rigen Folgenglieder und hofft
	dass eine Folge nicht monoton (bzw. streng monoton) ist
	Wenn man vermutet
	ein Gegenbeispiel zu finden
	Beispiel: Die durch ai=2i/(3i+1) gegebene Folge ist nicht monoton
	denn a0=1 > a2=4/13 < a5=32/16
	und Ã¼berprÃ¼ft die so entstandene Ungleichung
	dass eine Folge streng monoton steigt
	wertet auf beiden Seiten die Funktionsvorschrift aus (indem man auf der rechten Seite i+1 anstelle von i in die Vorschrift einsetzt)
	indem man sie durch Ã„quivalenzumformungen vereinfacht
	Wenn man vermutet
	schreibt man ai< ai+1
	Beispiel: [Siehe LehrbÃ¼cher] Manche Funktionsvorschriften lassen sich durch Termumformungen in eine Summe aus konstanten Termen und einer bekannten
	einfacheren Folge zerlegen
	deren Steigungsverhalten schon bekannt ist
	dass 1/(i+1) streng monoton fÃ¤llt
	kann man schlieÃŸen
	Beispiel: <math>a_i = frac{2i+1} {i+1} = frac {2(i+1)-1}{i+1} = 2 - frac {1}{i+1}<math> Wenn man weiÃŸ
	dass -1/(i+1) streng monoton steigt
	Weil der Term 2 konstant ist
	steigt auch ai streng monoton. [Bearbeiten]
Nachweis der BeschrÃ¤nktheit / Bestimmung einer Schranke
	durch die die Folge beschrÃ¤nkt ist
	dass es nicht irgendeine riesig groÃŸe bzw. kleine Zahl gibt
	Ein Nachweis per Gegenbeispiel ist hier nicht mÃ¶glich
	denn mit noch so vielen Beispielen kann man nicht sicherstellen
	wobei f(S) fÃ¼r irgendeinen von S abhÃ¤ngigen Term steht
	es gÃ¤be eine Schranke; die passende Ungleichung ansetzen
	Man muss also annehmen
	fÃ¼r eine obere Schranke also ai ≤S; auf der linken Seite die Funktionsvorschrift anwenden; nach i auflÃ¶sen; dann erhÃ¤lt man mit etwas GlÃ¼ck ein Ergebnis in der Form i ≤f(S) oder i≥f(S)
	wie groÃŸ f(S) ist
	dass die Folge nicht nach oben beschrÃ¤nkt ist: denn egal
	ein noch grÃ¶ÃŸeres i zu nennen
	Im ersten Fall hat man herausgefunden
	das die Ungleichung verletzt
	es ist immer mÃ¶glich
	Im zweiten Fall versucht man ein S zu finden
	fÃ¼r das f(S) ≤0
	dass S eine obere Schranke ist
	FÃ¼r ein solches S ist i≥f(S) immer erfÃ¼llt; somit ist der Nachweis gelungen
	wenn es gelingt
	Auch diese Aufgabe kann sich vereinfachen
	die Funktionsvorschrift in eine Summe aus einfacheren Termen zu zerlegen. [Bearbeiten]
Wichtige Folgen
	[Bearbeiten]
Arithmetische Folgen und Reihen
	Eine arithmetische Folge ist eine Folge mit konstanter Differenz zwischen aufeinanderfolgenden Gliedern
	<math> im allgemeinen Fall (mit konstanter Differenz d) <math>a_i = a_0 + i d.<math> Innerhalb der Mathematik oder Informatik benÃ¶tigt man besonders hÃ¤ufig die Folge der geraden <math>a_i = 2i<math> oder der ungeraden Zahlen
	... zugrunde liegt
	2
	... lautet die Funktionsvorschrift <math>a_i = 5 + 2i
	15
	7
	10
	<math>a_i = 2i+1.<math> Die Folge der "Dreieckszahlen" 1
	der die arithmetische Folge 1
	9
	3
	3
	... kann man als Reihe auffassen
	FÃ¼r die Folge 5
	6
	Mit Hilfe einer bekannten Summationsformel findet man <math>a_i = frac{i(i+1)}{2}.<math> [Bearbeiten]
Folgen auf Basis der Potenzfunktion
	8
	<math> die der Kubikzahlen 0
	wobei s eine beliebige reelle Zahl sein darf
	1
	Die Folge der Quadratzahlen 0
	... hat die Funktionsvorschrift <math>a_i = i^2
	<math> was man fÃ¼r s-te Potenzen der natÃ¼rlichen Zahlen zu <math>a_i = i^s<math> verallgemeinern kann
	4
	9
	27
	... <math>a_i = i^3
	1
	√5
	... der Quadratwurzeln der natÃ¼rlichen Zahlen
	√3
	Mit s=1/2 erhÃ¤lt man die Folge 0
	5} = sqrt{i}.<math> Bei negativen Exponenten s<0 ist zu beachten
	1
	4
	<math>a_i = i^{0
	dass 0s nicht exisitiert
	√2
	Beispielsweise mit s=-1 und der Funktionsvorschrift <math>a_i = i^{-1} = frac{1}{i}<math> ist es nicht mÃ¶glich
	dass Folgenglied zum Index i=0 zu berechnen
	indem man sich die Indexmenge N+ beschrÃ¤nkt
	Man kann den Index 0 ausschlieÃŸen
	die Indexmenge N0 unverÃ¤ndert zu lassen und stattdessen die Funktionsvorschrift in <math>a_i = (i+1)^{-1} = frac{1}{i+1}<math> zu Ã¤ndern
	Oft ist es jedoch zweckmÃ¤ÃŸiger
	1/4
	1/3
	..
	Dann lauten die ersten Folgenglieder 1
	1/2
	In gleicher Weise kann man eine Funktionsvorschrift fÃ¼r beliebige Exponenten s aufstellen: <math>a_i = (i+1)^{s}<math>. [Bearbeiten]
Geometrische Folgen
	ai+1 / ai = q
	So wie in einer arithmetischen Folge aufeinanderfolgende Glieder eine konstante Differenz haben
	so stehen in einer geometrische Folge <math>a_i = a_0 q^i<math> aufeinanderfolgende Glieder in einem konstanten VerhÃ¤ltnis zueinander
	512
	4
	64
	1024 auswendig weiÃŸ; in dieser Folge ist jedes Glied genau doppelt so groÃŸ wie das vorangegangene
	2
	32
	128
	Zum Beispiel ergibt q=2 die der Folge der Zweierpotenzen <math>a_i = 2^i
	16
	8
	<math> von der jeder mit Digitaltechnik Befasste mindestens die ersten zehn Glieder 1
	256
	erhÃ¤lt man aus <math>a_i = (-1)^i<math> die fundamentale alternierende Folge 1
	Eine geometrische Folge mit \|q\|<1 konvergiert gegen Null
	1
	1
	1
	-1
	1: <math>a_i = left(frac{1}{10}right)^i<math> Wenn q=1 erhÃ¤lt man die triviale Folge 1
	-1
	... [Bearbeiten]
	01; ... zu q=0
	...; wenn q=-1
	1; 0
	wie beispielsweise die Folge 1; 0
Verallgemeinerungen
	In der Topologie ist ein Netz eine Verallgemeinerung einer Folge. [Bearbeiten]
Noch nicht eingebaut
	Zum Beweis der Konvergenz ist die Methode der VollstÃ¤ndigen Induktion ein nÃ¼tzliches Hilfsmittel. [Bearbeiten]
Weblinks
	Die Online-EnzyklopÃ¤die der Zahlenfolgen (http://www.research.att.com/~njas/sequences/indexgerman.html) (OEIS) enthÃ¤lt eine Sammlung gebrÃ¤uchlicher Folgen aus ganzen Zahlen mit einer Suchfunktion. en:Sequence es:SucesiÃ³n matemÃ¡tica fr:Suite gl:SucesiÃ³n matemÃ¡tica id:Barisan ja:æ•°åˆ— nl:Rij (wiskunde) pl:CiÄ…g (matematyka) pt:SeqÃ¼Ãªncia sl:Zaporedje

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Inhalt Lexikon:

Allgemein

Anwendungen

Formale Definition

Bildungsgesetz einer Folge

Angabe von Anfangsgliedern

Angabe einer Funktionsvorschrift

Daran anknÃ¼pfende Aufgaben (fÃ¼r SchÃ¼ler)

Angabe als Reihe

Angabe einer Rekursion

Angabe Ã¼ber einen Algorithmus

Charakterisierung von Folgen

Daran anknÃ¼pfende Aufgaben (insbesondere fÃ¼r SchÃ¼ler und StudienanfÃ¤nger)

Nachweis der Monotonie

Nachweis der BeschrÃ¤nktheit / Bestimmung einer Schranke

Wichtige Folgen

Arithmetische Folgen und Reihen

Folgen auf Basis der Potenzfunktion

Geometrische Folgen

Verallgemeinerungen

Noch nicht eingebaut

Weblinks