WÃ¤lder und BÃ¤ume in der Graphentheorie

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WÃ¤lder und BÃ¤ume in der Graphentheorie

Stichpunkte

Allgemein
	WÃ¤lder und BÃ¤ume sind in der Graphentheorie spezielle Graphen
	In der Informatik werden BÃ¤ume hÃ¤ufig als Datenstruktur eingesetzt
	In diesem Fall werden sie aber anders reprÃ¤sentiert als allgemeine Graphen
	Es wird unterschieden in ungerichtete BÃ¤ume und gewurzelte BÃ¤ume
	"Verbergen") 1 Ungerichtete BÃ¤ume 1.1 Definitionen 1.2 Weitere Begriffe 2 Gewurzelte BÃ¤ume 2.1 Definition 2.2 Weitere Begriffe 2.3 Alternative Definition 3 Spezielle BÃ¤ume 4 BÃ¤ume als Datenstruktur 4.1 Implementation 5 WÃ¤lder 6 Wichtige Aussagen und SÃ¤tze 7 Wichtige Algorithmen 8 Anwendungen 9 Siehe auch [Bearbeiten]
	die weiter in Out-Trees und In-Trees differenziert werden. Inhaltsverzeichnis showTocToggle("Anzeigen"
Ungerichtete BÃ¤ume
	[Bearbeiten]
Definitionen
	Ungerichtete BÃ¤ume lassen sich durch folgende Ã¤quivalente Definitionen charakterisieren
	in denen je zwei beliebige verschiedene Knoten durch hÃ¶chstens einen Pfad verbunden sind oder die Anzahl der Knoten um 1 grÃ¶ÃŸer ist als die Anzahl der Kanten. [Bearbeiten]
	Ungerichtete BÃ¤ume sind einfache zusammenhÃ¤ngende Graphen ohne Kreis
Weitere Begriffe
	In ungerichteten BÃ¤umen gibt es im Gegengsatz zu gewurzelten BÃ¤umen keine ausgezeichnete Wurzel
	Es lassen sich lediglich BlÃ¤tter identifizieren
	dass heiÃŸt ihr Grad ist genau 1
	dass sie nur genau einen Nachbarn besitzen
	die dadurch charakterisiert sind
	Als Ordnung wird hier den Maximalgrad des Baumes bezeichnet
	Alle Knoten
	die keine BlÃ¤tter sind
	werden als innere Knoten bezeichnet
	wenn er Baum ist und alle Knoten von G enthÃ¤lt
	Ein Teilgraph eines ungerichteten Graphen G=(V
	E) heiÃŸt spannender Baum von G
	Ein spannender Baum T eines kantengewichteten
	ungerichteten Graphen G heiÃŸt minimal
	dessen Summe seiner Kantengewichte kleiner ist
	als die Summe der Kantengewichte von T
	wenn kein anderer spannender Baum von G existiert
	HÃ¤ufig kÃ¼rzt man "minimal spannender Baum" auch mit MST ab. [Bearbeiten]
Gewurzelte BÃ¤ume
	[Bearbeiten]
Definition
	Ein gewurzelter Baum -- auch Wurzelbaum genannt -- ist ein gerichteter Graph mit einem ausgezeichneten Knoten
	fÃ¼r die gilt
	der so genannten Wurzel
	dass im Falle von Out-Trees jeder Knoten durch genau einen gerichteten Pfad von diesem aus erreichbar ist oder dass im Falle von In-Trees dieser von jedem Knoten aus durch genau einen gerichteten Pfad erreichbar ist. [Bearbeiten]
Weitere Begriffe
	Im Falle von Out-Trees wird der maximale Ausgangsgrad als Ordnung des Baumes bezeichnet und alle Knoten mit Ausgangsgrad 0 werden BlÃ¤tter genannt
	Als Tiefe eines Knotens wird die LÃ¤nge des Pfades von der Wurzel zu ihm hin und als HÃ¶he des Baumes die LÃ¤nge eines lÃ¤ngsten Pfades bezeichnet
	Im Falle von In-Trees wird der maximale Eingangsgrad des Baumes als seine Ordnung bezeichnet und alle Knoten mit Eingangsgrad 0 werden BlÃ¤tter genannt
	Die HÃ¶he des Baumes ist auch hier die LÃ¤nge eines lÃ¤ngsten Pfades
	Wie bei ungerichteten BÃ¤umen werden auch in gewurzelten BÃ¤umen alle Knoten
	die kein Blatt sind als innere Knoten bezeichnet
	Manchmal schlieÃŸt man die Wurzel dabei aber aus
	die Nachfolger von e sind
	sowie den Kanten von T
	Der Teilbaum Te eines Knoten e in einem gewurzelten Baum T besteht aus e und allen Knoten
	die diese Knoten verbinden
	FÃ¼r Out-Trees gibt es noch eine ganze Reihe weiterer Begriffe
	durch den er mit einer eingehenden Kante verbunden ist als Elternknoten
	VorgÃ¤nger
	Vaterknoten oder kurz Vater von v bezeichnet
	FÃ¼r einen von der Wurzel verschiedenen Knoten v wird der Knoten
	die entweder Elternknoten von v oder VorgÃ¤nger des Elternknotens sind bezeichnet
	Als Vorfahren von v werden alle Knoten
	Nachfolger oder Sohn von v genannt
	Umgekehrt werden alle Knoten
	die von einem beliebigen Knoten v aus durch eine ausgehende Kante verbunden sind Kinderknoten
	Kinder
	Als Nachfahren von v werden Kinder von v oder deren Nachfahren bezeichnet
	Als Geschwisterknoten oder kurz Geschwister werden in einem Out-Tree Knoten bezeichnet
	die den gleichen Elternknoten besitzen. [Bearbeiten]
Alternative Definition
	Gewurzelte BÃ¤ume lassen sich auch rekursiv definieren
	der die Wurzel des Baumes darstellt
	...
	...
	bei Out-Trees in Richtung der Wurzeln von T1
	T2
	wobei diese selbst Out-Trees sind und bei In-Trees in Richtung von w
	Tn verbunden ist
	wobei T1
	T2
	Tn
	...
	Sie bestehen aus einem Knoten w
	T2
	Tn selbst In-Trees sind. [Bearbeiten]
	welcher ausschlieÃŸlich mit den Wurzeln knotendisjunkter BÃ¤ume T1
Spezielle BÃ¤ume
	Es existiert eine Vielzahl von Begriffen
	die BÃ¤ume nÃ¤her spezifizieren
	balancierte BÃ¤ume und vollstÃ¤ndige BÃ¤ume. [Bearbeiten]
	BinomialbÃ¤ume
	So gibt es zum Beispiel BinÃ¤rbÃ¤ume
BÃ¤ume als Datenstruktur
	[Bearbeiten]
Implementation
	werden hÃ¤ufig als Datenstruktur verwendet
	Gewurzelte BÃ¤ume
	insbesondere Out-Trees
	Bei beschrÃ¤nkter Ordnung kÃ¶nnen diese so implementiert werden
	dass jeder Knoten einen festen Satz an Variablen oder ein Array fÃ¼r die Zeiger auf seine Kinder enthÃ¤lt
	Bei unbeschrÃ¤nkter Ordnung enthÃ¤lt jeder Knoten einen Zeiger auf sein erstes Kind und seinen nÃ¤chsten Geschwisterknoten
	HÃ¤ufig besitzen die Knoten auch einen Zeiger auf ihren Elternknoten und/oder einen Zeiger auf den vorhergenden Geschwisterknoten. [Bearbeiten]
WÃ¤lder
	Als Wald werden Kompositionen von knotendisjunkten BÃ¤umen der selben Art bezeichnet
	Im Wesentlichen genÃ¼gt es dabei die Forderung nach dem Zusammenhang wegfallen zu lassen
	Damit stellt natÃ¼rlich auch ein einzelner Baum einen Wald dar
	indem Kanten gestrichen werden. [Bearbeiten]
	Ansonsten entstehen WÃ¤lder beispielsweise auch aus BÃ¤umen
Wichtige Aussagen und SÃ¤tze
	wenn er einen spannenden Baum enthÃ¤lt
	Ein Graph ist genau dann zusammenhÃ¤ngend
	Jeder Baum ist bipartit und planar
	WÃ¤lder und BÃ¤ume kÃ¶nnen topologisch sortiert werden. [Bearbeiten]
Wichtige Algorithmen
	der zu einem zusammenhÃ¤ngenden Graphen <math>G = left(V
	Mittels Tiefensuche kann leicht ein linearer Algorithmus implementiert werden
	E right)<math> einen spannenden Baum berechnet
	Zum finden eines minimal spannenden Baumes gibt es den Algorithmus von Kruskal
	der Worst-Case-Laufzeit <math>mathrm{O} left( left\| E right\| ln left( left\| V right\| right) + left\| V right\| right)<math> besitzt
	der Worst-Case-Laufzeit <math>mathrm{O} left( left\| V right\| ln left( left\| V right\| right) + left\| E right\| right)<math> besitzt
	Etwas schneller ist der Algorithmus von Prim
	Dieser benÃ¶tigt aber mit Fibonacci-Heaps eine recht komplexe Datenstruktur
	da man mit seiner Hilfe auch Zahlen sortieren kann. [Bearbeiten]
	Man kann zeigen
	dass der Algorithmus von Prim damit im Wesentlichen bestmÃ¶glich ist
Anwendungen
	Die Berechnung minimal spannender BÃ¤ume findet direkte Anwendungen in der Praxis
	wenn man zum Beispiel kostengÃ¼nstig zusammenhÃ¤ngende Netzwerke herstellen will
	In der Graphentheorie selbst sind MST-Algorithmen hÃ¤ufig Grundlage komplexerer Algorithmen fÃ¼r schwierigere Probleme
	Die Berechnung minimal spannender BÃ¤ume ist zum Beispiel Bestandteil von Approximationsalgorithmen fÃ¼r das Steinerbaum-Problem oder fÃ¼r das Problem des Handlungsreisenden (oft auch Traveling-Salesman-Problem genannt und TSP abgekÃ¼rzt). [Bearbeiten]
Siehe auch
	Baum (Graphentheorie) Wald (Graphentheorie) BinÃ¤rbaum Dendrogramm en:Tree (graph theory) he:×¢×¥ (×ª×•×¨×ª ×”×’×¨×¤×™×?) ja:æœ¨ (æ•°å¦) lt:Medis (grafÅ³ teorija) pl:Drzewo (matematyka) zh:æ ‘ (å›¾è®º)

Dieser Artikel basiert auf dem Artikel WÃ¤lder und BÃ¤ume in der Graphentheorie aus der freien Enzyklopädie wikipedia und steht unter der GNU Lizenz für freie Dokumentation. In der wikipedia ist eine Liste der Autoren verfügbar.

BriefumschlÃ¤ge Osteuropa Wald (Graphentheorie) Spannbaum LiepÄ?ja Kaunas Df

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Spezielle BÃ¤ume

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Wichtige Aussagen und SÃ¤tze

Wichtige Algorithmen

Anwendungen

Siehe auch