Stichpunkte

Allgemein
	Vektorraum berührt die Spezialgebiete Mathematik Abstrakte Algebra Lineare Algebra Analytische Geometrie ist Spezialfall von Abelsche Gruppe trägt Operation eines Körpers Modul umfasst als Spezialfälle Körper (VR über sich selbst) topologischer Vektorraum normierter Raum Prähilbertraum Euklidischer Raum reelle Zahlen Unitärer Raum komplexe Zahlen Banachraum Hilbertraum A-Algebra (mit innerer Multiplikation) Assoziative Algebra Lie-Algebra Der Vektorraum ist das fundamentale Konzept der Linearen Algebra; Anwendungen finden sich in fast allen Zweigen der Mathematik
	geometrisch anschauliche Euklidische Raum
	Prototyp eines Vektorraums ist der zwei- oder dreidimensionale
	auch unendlich viele Dimensionen
	In der Abstraktion zum Vektorraum erlaubt man beliebig
	die aus einem außergeometrischen Kontext stammen
	lässt man auch Objekte wie Funktionen oder Matrizen zu
	Als Vektoren
	also Elemente des Vektorraums
	dass die Elemente eines Vektorraums den aus der Geometrie abstrahierten Regeln für die Addition und Streckung von Vektoren genügen
	Entscheidend ist nur
	Die Streckung eines Vektors erfolgt durch äußere Multiplikation mit einer skalaren Zahl; dementsprechend ist ein Vektorraum immer ein Vektorraum über einem bestimmten Zahlkörper
	In den meisten Anwendungen legt man den Körper der reellen oder den der komplexen Zahlen zugrunde. Inhaltsverzeichnis showTocToggle("Anzeigen"
	"Verbergen") 1 Formale Definition 1.1 Euklidische Ebene 1.2 Ein einfacher abstrakter Vektorraum 2 Eigenschaften 3 Spezielle Vektorräume 4 Untervektorraum / Teilvektorraum [Bearbeiten]
Formale Definition
	+
	so dass v + (-v) = 0; v + w = w + v (Kommutativität); für die Skalarmultiplikation gilt: a * v liegt wieder in V (Abgeschlossenheit: V trägt Operation von K); a * (b * v) = (a * b) * v (Assoziativität); 1 * v = v (das neutrale Element von K wirkt auch auf V neutral); und die folgenden Distributivgesetze garantieren die Verträglichkeit von Vektoraddition und Skalarmultiplikation: a * (v + w) = a * v + a * w; (a + b) * v = a * v + b * v (links vom Gleichheitszeichen bezeichnet "+" die Addition in K
	die den folgenden zehn Bedingungen genügen: Für alle Vektoren u
	v + w ist wieder ein Vektor aus V (Abgeschlossenheit); u + (v + w) = (u + v) + w (Assoziativität); Es gibt einen Nullvektor 0 aus V
	das heißt
	wenn zwei Verknüpfungen
	w aus V und alle Skalare a
	so dass 0 + v = v = v + 0; Es gibt zu jedem Vektor v einen inversen Vektor -v
	nicht die Vektoraddition). Bemerkungen: Da K kommutativ ist
	v
	wird nicht zwischen Skalarmultiplikation von links oder von rechts unterschieden
	Ein Tripel (V
	+) ist eine Abelsche Gruppe
	b aus K gilt: (V
	eine Vektoraddition <math>+:mathbf{V} times mathbf{V} to mathbf{V}<math> und eine Skalarmultiplikation <math>*:mathbf{K} times mathbf{V} to mathbf{V}<math> definiert sind
	*) heißt Vektorraum über einem Körper K oder K-Vektorraum
	Wenn man statt einem Körper K einen Ring zugrunde legt
	erhält man ein Modul
	Streng genommen ist die Multiplikation im Körper K eine andere als die im zugehörigen K-Vektorraum
	Trotzdem werden oft beide mit dem selben Zeichen(· oder *) bezeichnet
	Oft lässt man das Multiplikationszeichen auch ganz weg. [Bearbeiten]
Euklidische Ebene
	Anschauliche Vektorräume sind die 2-dimensionale Ebene oder der 3-dimensionale Raum mit den Pfeilklassen (Verschiebungen) als Vektoren und den reellen Zahlen als Skalaren
	3 ) sei die Verschiebung um 2 Einheiten nach rechts und 3 Einheiten nach oben. w = ( 3
	d.h
	Wir betrachten die 2-dimensionale Euklidische Ebene: v = ( 2
	-2 )
	-5 ) sei die Verschiebung um 3 Einheiten nach rechts und 5 Einheiten nach unten. Die Summe zweier Verschiebungen ist wieder eine Verschiebung: v + w = ( 5
	d.h. keine Verschiebung
	0 )
	5 Einheiten nach rechts und 2 Einheiten nach unten. Der Nullvektor ist 0 = ( 0
	3 ) = ( 6
	9 )
	Mit einem Skalar a = 3 aus der Menge der reellen Zahlen ist die Skalarmultiplikation: a * v = 3 * ( 2
	Diese Verschiebung ist das Dreifache der Verschiebung v. [Bearbeiten]
Ein einfacher abstrakter Vektorraum
	Vektorräume können jedoch auch abstrakter aussehen
	So kann V etwa die Menge der Geraden sein
	g(x) = 3x - 5 . Die Summe zweier Geraden ist wieder eine Gerade: f(x) + g(x) = 2x + 3 + 3x - 5 = (2+3)x + (3-5) = 5x - 2 .. Der Nullvektor ist die Funktion n(x) = 0x + 0
	d.h. n(x) = 0. Mit einem Skalar a = 3 aus der Menge der reellen Zahlen ist die Skalarmultiplikation: a * f(x) = 3 * (2x + 3) = (3.2)x + (3.3) = 6x + 9. Allgemeiner sind auch Polynome Vektorräume: Die Polynome vom Grad 4 (a + b * x + c * x^2 + d * x^3 + e * x^4) haben zum Beispiel Dimension 5
	Beispiele für Geraden sind etwa: f(x) = 2x + 3
	x^4}
	x^2
	Eine Basis ist {1
	x
	x^3
	dass dieser Vektorraum alle Bedingungen erfüllt. [Bearbeiten]
	Man kann zeigen
Eigenschaften
	Jeder Vektorraum besitzt eine Basis
	Der Beweis dazu findet sich hier. [Bearbeiten]
Spezielle Vektorräume
	Oft besitzt ein Vektorraum neben seiner algebraischen auch noch eine damit verträgliche topologische Struktur; er ist dann ein topologischer Vektorraum
	die etwas abstrakter seine Norm genannt wird: der Vektorraum ist dann ein normierter Raum
	In vielen Vektorräumen ist es möglich
	die Länge eines Vektors anzugeben
	Eine Norm induziert stets eine Metrik und damit auch eine Topologie
	Oft ist es sinnvoll und möglich
	auch den Winkel zwischen Vektoren zu definieren
	Das geschieht mit Hilfe des Skalarprodukts (nicht zu verwechseln mit der Skalarmultiplikation!); der Vektorraum ist dann ein Innenproduktraum
	in dem jede Cauchy-Folge konvergiert
	heißt vollständig
	In einem metrischen Raum ist das analytische Konzept der Konvergenz anwendbar; ein metrischer Raum
	Ein vollständiger normierter Raum heißt Banach-Raum
	ein vollständiger Innenproduktraum heißt Hilbert-Raum
	Die Quantenmechanik arbeitet mit Hilberträumen
	deren Elemente Wellenfunktionen sind
	Ein Tangentialraum enthält die lokale Vektorraumstruktur einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit
	Aus einem Vektorraum kann man durch Bildung von Äquivalenzklassen einen weiteren Vektorraum
	den Quotientenraum
	konstruieren. [Bearbeiten]
Untervektorraum / Teilvektorraum
	Wir betrachten den oben angegebenen K-Vektorraum V
	so liegt auch a * x in V'
	falls die folgenden Bedingungen gelten: <math>V' ne empty<math> <math>V' subseteq V<math> Liegen Elemente x und y in V'
	V' ist ein Untervektorraum oder auch Teilvektorraum von V
	so liegt auch (x + y) in V' (Abgeschlossenheit bezüglich der Addition) Liegt das Element x in V'
	für alle a in K (Abgeschlossenheit bezüglich der Multiplikation) Beispiel: Sei V ein Vektorraum über dem Körper der reellen Zahlen zum Quadrat: <math>V = mathbb{R}^{2}<math>
	Ein möglicher Untervektorraum ist <math>M = mathbb{R} times left{0right}<math>
	da er die o.g
	Bedingungen des Untervektorraums erfüllt
	wobei eine Koordinate stets 0 ist
	und M ist eine Gerade aus dieser Ebene
	Anschaulich ist V eine Ebene
	Jeder Vektorraum V hat außerdem zwei triviale Untervektorräume
	zum anderen einen Vektorraum der nur den Nullvektor enthält. Siehe auch: Hierarchie mathematischer Strukturen
	Raum (Mathematik) da:Vektorrum en:Vector space es:Espacio vectorial fr:Espace vectoriel he:מרחב וקטורי it:Spazio vettoriale ja:ベクトル空間 ko:벡터 공간 nl:Vectorruimte pl:PrzestrzeÅ„ liniowa ro:SpaÅ£iu vectorial ru:Линейное проÑ?транÑ?тво sl:Vektorski prostor sv:Linjärt rum
	Zum einen sich selbst als Untervektorraum

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