Stichpunkte

Allgemein
	Die Umkehrfunktion einer bijektiven Funktion ist die Funktion
	die jedem Element der Wertemenge sein eindeutig bestimmtes Urbildelement zuweist. (Bei bijektiven Funktionen hat die Urbildmenge jedes Elements genau ein Element.) [Bearbeiten]
Schreibweise
	Wenn f: A → B eine bijektive Funktion ist
	dann bezeichnet f -1: B → A die Umkehrfunktion
	Dabei ist das -1 nicht mit einer negativen Potenz bezüglich der Multiplikation zu verwechseln; es handelt sich bei dieser Schreibweise vielmehr um die Umkehrung der Hintereinanderausführung von Funktionen
	Der Funktionswert f -1(y) ist definiert als das (eindeutig bestimmte) x in A
	das die Gleichung f(x) = y erfüllt. [Bearbeiten]
Beispiel
	Sei f: R → R die Funktion mit f(x) = 3x + 2
	Diese ist bijektiv und die Umkehrfunktion ist gegeben durch f -1(y) = (y-2)/3
	∞) die Menge der nichtnegativen reellen Zahlen und f: R0+ → R0+
	Sei R0+ = [0
	f(x) = x2 eine eingeschränkte Quadrat-Abbildung
	Dann ist f bijektiv
	f(x) = √x
	Die Umkehrfunktion f -1 ist gegeben durch f -1: R0+ → R0+
	Siehe dazu auch die weiteren Beispiele im Artikel Injektivität
	Arcus-Cosinus (arccos) und Arcus-Tangens (arctan)
	Cosinus (cos) und Tangens (tan) auf geeignete Definitions- und Wertebereiche (auf denen diese Einschränkungen bijektiv sind) heißen Arcus-Funktionen: Arcus-Sinus (arcsin)
	Die Umkehrfunktionen von Einschränkungen der trigonometrische Funktionen Sinus (sin)
	Die Umkehrungen geeigneter Einschränkungen der Hyperbelfunktionen Sinus Hyperbolicus (sinh)
	Areacosinus Hyperbolicus (arcosh) und Areatangens Hyperbolicus (artanh). [Bearbeiten]
	Cosinus-Hyperbolicus (cosh) und Tangens Hyperbolicus (tanh) heißen Area-Funktionen: Areasinus Hyperbolicus (arsinh)
Eigenschaften
	g(f(x)) = x für alle x aus A
	dann gilt für die Umkehrfunktion: f(f -1(x)) = x für alle x aus B
	d.h. (f -1)-1 = f. Ist f: A → B eine bijektive Funktion
	dann sind beide Funktionen bijektiv und g ist die Umkehrfunktion von f
	Die Umkehrfunktion der Umkehrfunktion ist die ursprüngliche Funktion
	f -1(f(x)) = x für alle x aus A. Sind f: A → B und g: B → A zwei Funktionen mit den Eigenschaften f(g(x)) = x für alle x aus B
	indem man den Graph von f an der Diagonalen y = x spiegelt
	wobei A und B Teilmengen von R sind
	dann entsteht der Graph der Umkehrfunktion
	Ist f: A → B eine bijektive Funktion
	und f'(x) <math>neq<math> 0
	Ist f: R → R differenzierbar
	dann ist mit <math>y := f(x): (f^{-1})'(y)=frac{1}{f'(f^{-1}(y))}<math> en:Inverse function fr:Application réciproque pl:Funkcja odwrotna uk:Обернена функціÑ?

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