Stichpunkte

Allgemein
	der in der Topologie allgemein definiert wird und auch in weiteren Teilgebieten wie der Analysis verwendet wird. Inhaltsverzeichnis showTocToggle("Anzeigen"
	"Verbergen") 1 Definition 1.1 Umgebungsfilter 1.2 Umgebungsbasis 1.3 Erstes Abzählbarkeitsaxiom 2 Beispiele 3 Rekonstruktion der Topologie 4 Bei metrischen Räumen [Bearbeiten]
	Umgebung ist ein Begriff der Mathematik
Definition
	T) ein topologischer Raum und <math>pin X<math> ein Punkt des Raumes
	Sei (X
	Eine offene Umgebung U von p ist eine offene Teilmenge
	die p enthält
	die eine offene Umgebung von p als Teilmenge besitzt. [Bearbeiten]
	Eine Umgebung von p ist eine Teilmenge
Umgebungsfilter
	der Umgebungsfilter von p heißt
	Die Menge aller Umgebungen eines Punktes p bildet einen Filter
	Der Umgebungsfilter ist eine Teilmenge der Potenzmenge von X. [Bearbeiten]
Umgebungsbasis
	Eine Menge <math>mathfrak{B}<math> von Umgebungen eines Punktes x heißt eine Umgebungsbasis von x
	wenn jede Umgebung ein Element von <math>mathfrak{B}<math> als Teilmenge hat. [Bearbeiten]
Erstes Abzählbarkeitsaxiom
	Man definiert: Ein topologischer Raum erfüllt das erste Abzählbarkeitsaxiom
	wenn jeder seiner Punkte eine abzählbare Umgebungsbasis besitzt. [Bearbeiten]
Beispiele
	dann ist {{x}} Umgebungsbasis von x. Jeder metrische Raum erfüllt das erste Abzählbarkeitsaxiom
	Ist {x} offen
	denn für jedes reelle ε einer ε-Umgebung gibt es ein rationales δ mit δ < ε und die rationalen Zahlen sind abzählbar. [Bearbeiten]
Rekonstruktion der Topologie
	wenn man zu jedem Punkt alle Umgebungen kennt: Eine Menge ist genau dann offen
	Man kann in einem topologischen Raum die offenen Mengen rekonstruieren
	wenn sie Umgebung jedes ihrer Punkte ist. [Bearbeiten]
Bei metrischen Räumen
	d) sind Raumeigenschaften der Menge M bereits durch die Metrik d festgelegt
	In einem Metrischen Raum (M
	Man zieht die topologischen Eigenschaften aus der Metrik heraus
	wobei man zunächst für jeden Punkt der Menge die so genannten ε-Umgebungen definiert: <math> forall x_0 in M : forall epsilon > 0 : U_epsilon
	} <math> Eine Teilmenge von M ist genau dann eine Umgebung des Punktes x
	x_0) < epsilon
	x in M
	(x
	indem man Umgebungen herleitet
	|
	d
	(x_0)&nbsp;:= {
	wenn sie eine ε-Umgebung von x enthält
	Die so definierten Umgebungen erfüllen die oben aufgeführten Axiome 1 bis 4 und bestimmen damit auf der Menge M eindeutig eine Topologie: die durch die Metrik induzierte Topologie
	Verschiedene Metriken können die selbe Topologie induzieren.

Dieser Artikel basiert auf dem Artikel Umgebung (Mathematik) aus der freien Enzyklopädie wikipedia und steht unter der GNU Lizenz für freie Dokumentation. In der wikipedia ist eine Liste der Autoren verfügbar.