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Tensor

Stichpunkte

Allgemein
	eine Verallgemeinerung der Begriffe Vektor und lineares Funktional
	Vorlage:Doppeleintrag Ein Tensor ist in der linearen Algebra
	einem Teilgebiet der Mathematik
	Es gibt eine aufsteigende Folge immer komplexerer Tensoren
	So sind Skalare Tensoren 0
	Stufe
	Vektoren sind Tensoren 1
	bestimmte physikalische GrÃ¶ÃŸen
	wie z.B. das TrÃ¤gheitsmoment eines starren KÃ¶rpers sind Tensoren 2
	Stufe
	Stufe usw. Auch die in der Taylorentwicklung einer Funktion in mehreren VerÃ¤nderlichen auftretenden Glieder sind (symmetrische) Tensoren aufsteigender Stufe
	dass es sich um ein geometrisches Objekt handelt
	Entscheidend fÃ¼r die Einordnung einer GrÃ¶ÃŸe als Tensor ist
	welches invariant unter Koordinatentransformationen ist
	Tensorprodukt
	wenn man das Koordinatensystem wechselt
	denn das dargestellte Objekt soll invariant sein. Inhaltsverzeichnis showTocToggle("Anzeigen"
	Vektor
	Tensorraum 8 Pseudovektoren 9 Wort- und Begriffsgeschichte [Bearbeiten]
	Matrix 5 Tensoren fÃ¼r Physiker 5.1 Summationskonvention 5.2 Allgemeines (alt) 5.3 Basis und Koordinatenvektoren 5.4 Basiswechsel und Koordinatentransformationen 5.5 Linearformen (1-Formen) als kovariante Tensoren erster Stufe 5.6 Matrizen und Tensorprodukte 6 Tensoren in der Mathematik 6.1 Ko- und Kontravarianz als Eigenschaften von Abbildungen 6.2 Tensorprodukt 6.3 Tensorprodukte eines Vektorraums und Symmetrie 6.4 Skalarprodukt versteckt eine Metrik oder eine 1-Form 6.5 Differential als 1-Form 6.6 Koordinatentransformation mittels Jacobi-Matrix 6.7 Lineare Abbildungen als Tensoren der Stufe 1+1 7 Formale Definition: Tensoren der Stufe r+s
	"Verbergen") 1 Einordnung in die Mathematik einerseits und Physik und Ingenieurwissenschaften andererseits 2 Weitere Bemerkungen 3 Anwendungen 4 Tensoren fÃ¼r Ingenieure 4.1 Naive Definition: Tensoren als Verallgemeinerung von Skalar
	Dementsprechend mÃ¼ssen sich die Koordinaten des Objekts sich konsistent Ã¤ndern
Einordnung in die Mathematik einerseits und Physik und Ingenieurwissenschaften andererseits
	In verschiedenen Anwendungsgebieten gibt es verschieden komplexe Herangehensweisen an den Begriff Tensor
	<math>V_k^*=Hom(V_k
	In der Mathematik ist ein Tensor der Stufe s eine multilineare Abbildung <math>T:V_1^times V_2^timesdotstimes V_s^*tomathbb K<math>
	<math>mathbb K=mathbb R
	...<math> ist der gemeinsame SkalarkÃ¶rper der VektorrÃ¤ume
	mathbb C
	mathbb K)<math> der duale Vektorraum der linearen Funktionale
	v_s)in V_1timesdotstimes V_s<math> eine solche Abbildung
	alpha_s):=alpha_1(v_1)cdotldotscdotalpha_s(v_s)<math>. Jeder Tensor lÃ¤ÃŸt sich als Summe von solchen Tensorprodukten schreiben
	Beispielsweise erzeugt jedes Tupel <math>(v_1
	dots
	dots
	welche <math>v_1otimesdotsotimes v_s<math> geschrieben wird und sich berechnet zu <math>(v_1otimesdotsotimes v_s)(alpha_1
	die denselben Tensor darstellt heiÃŸt Rang dieses Tensors. Ist in jedem Faktorvektorraum eine Basis gewÃ¤hlt
	dass die VektorrÃ¤ume im Tensorprodukt sich auf ein Paar (V
	so ist die Menge aller Tensorprodukte der Basisvektoren eine Basis des Tensorproduktraums. In der Physik ist man oft an dem speziellen Fall interessiert
	V*) aus einem Vektorraum und seinem dualen Raum beschrÃ¤nken
	Die minimal mÃ¶gliche Anzahl von Summanden in solch einer Produktsumme
	t}s kodiert
	so ist Vk:=V*
	steht in dieser Signatur an k-ter Stelle ein h
	so ist Vk:=V
	steht an k-ter Stelle ein s
	Diese Wahl wird durch ein s-Tupel aus {h
	...
	ed) von V
	Eine Basis des Tensorproduktraumes ist nun schon durch die Angabe einer Basis B=(e1
	gegeben
	d=dim(V) die Dimension des Vektorraums
	die Matrix ( Î¸k(el) ) ist definitionsgemÃ¤ÃŸ die Einheitsmatrix. Die Koordinaten bezÃ¼glich der Produktbasis werden mit einem Multiindex versehen
	der die Zusammensetzung des Produkts reflektiert
	Î¸d) gewÃ¤hlt
	...
	In V* wird die zugehÃ¶rige duale Basis B*=(Î¸1
	Dabei wird der Index an der Stelle k hochgestellt
	sonst tiefgestellt
	wenn in der Signatur an dieser Stelle ein h steht
	Im Basisprodukt steht der Index in entgegengesetzter Position
	was Grundlage der Einsteinschen Summenkonvention ist
	betrachtet diese Zusammenballung von Zahlen also nur noch als Abbildung T:{1
	wie sich diese Zahlen Ã¤ndern
	t)
	merkt sich aber
	dass die Symbole mit den Indizes Koordinaten in einer Basisdarstellung sind
	welche fÃ¼r den Tensorproduktraum <math>Votimes V^otimes V^otimes Votimes V^*<math> steht
	wenn die Basis gewechselt wird
	h
	erhalten wir nach Basiswahl in V eine Koordinatendarstellung <math> T=sum_{j=1}^dsum_{k=1}^dsum_{k=1}^dsum_{l=1}^dsum_{m=1}^dsum_{n=1}^d T^j{}_k{}_l{}^m{}_n cdot e_jotimes theta^kotimestheta^lotimes e_motimes theta^n <math> In der Physik "vergiÃŸt" man nun
	t
	...
	t
	d}s->IK mit etwas unÃ¼blicher Indexschreibweise
	Z.B. fÃ¼r eine Signatur (h
	Aus diesem Transformationverhalten wird dann der Begriff Tensor abgeleitet
	Die Frage nach dem Transformationsverhalten von GrÃ¶ÃŸen oder gar physikalischen Gesetzen ist charakteristisch fÃ¼r die RelativitÃ¤tstheorie
	Die Tensorrechnung stellt das mathematische Rahmenwerk der allgemeinen RelativitÃ¤tstheorie Einsteins dar und hat in dieser Form auch grÃ¶ÃŸere Bekanntheit erhalten
	Leider wurde durch diesen enormen wissenschaftlichen Erfolg damit auch der mathematische Wissensstand samt Notation und Begriffen mit Stand von ca
	reicht die Darstellung als Tupel mit Multiindex meist vollkommen aus
	1915 konserviert. FÃ¼r Leute
	die einfach mit Tensoren rechnen mÃ¼ssen
	Allerdings ist die Interpretation der Rechnung und des Ergebnisses nicht so durchsichtig
	ein Tensor der Stufe 3 ein 3-dimensionales Gitter
	Dann ist ein Tensor der Stufe 1 einfach ein normales Tupel
	ein Tensor der Stufe 2 eine Matrix
	in welches Zahlen an den Gitterpunkten eingetragen sind
	FÃ¼r diese Objekte sind zwei Operationen definiert
	wobei die VerjÃ¼ngung als Ãœberschiebung mit der Einheitsmatrix gesehen werden kann
	die VerjÃ¼ngung und die Ãœberschiebung
	(b_k))mapsto (sum_j a_{ij}b_j)<math>
	Die einfache Ãœberschiebung eines Tensors a der Stufe 2 mit einem Tensor b der Stufe 1 ist nicht weiter als die normale Matrix-Vektor-Multiplikation <math>((a_{ij})
	das es sich um ein Tupel handelt
	die Klammern drÃ¼cken aus
	das alle Indexkombinationen durchlÃ¤uft
	Wir kÃ¶nnen auch einen Tensor c der Stufe 3 mit einem Tensor a der Stufe 2 Ã¼berschieben und erhalten eine lineare Abbildung aus dem Raum der Matrizen in den Raum der Vektoren <math>((c_{ijk})
	(a_{mn}))mapsto (sum_jsum_k c_{ijk}a_{jk})<math>. Ãœberschiebt man 2 Tensoren 3
	so entsteht ein Tensor 4
	Stufe in einem Index
	Stufe
	Die VerjÃ¼ngung eines Tensors 2
	durch VerjÃ¼ngen eines Tensors 3
	Stufe ist die Spur dieser Matrix <math>(a_{ij})mapsto sum_i a_{ii}<math>
	Stufe entsteht ein Tensor 1
	Stufe. FÃ¼r Anwendungen in der Statistik
	wird das Tensorprodukt von Spaltenvektoren und diese transformierender Matrizen benÃ¶tigt
	speziell fÃ¼r multivariate Verfahren
	FÃ¼r diesen Zweck wird das Kronecker-Produkt von Matrizen eingesetzt
	d.h. <math> aotimes b:=begin{pmatrix}a_1b\a_2bend{pmatrix} =(a_1b_1
	z.B. wenn das Produkt eines zwei- und eines dreidimensionalen Vektors gebildet wird
	;a_2b_1
	dass aus einem Multiindex durch alphabetische Anordnung ein einfacher Index erzeugt wird
	a_2b_3)^t <math>
	so wird dem Indexpaar (i
	a_2b_2
	a_1b_3
	a_1b_2
	j) der einfache Index 3i+j-3 zugeordnet
	Diesem liegt zugrunde
	Im Kroneckerprodukt zweier Matrizen wird dieses Verfahren in beiden Dimensionen separat angewandt. [Bearbeiten]
Weitere Bemerkungen
	Oft verwendet man das Wort Tensor auch abkÃ¼rzend als Bezeichnung fÃ¼r ein Tensorfeld
	die jedem Punkt einer Mannigfaltigkeit einen Tensor zuordnet
	also eine Abbildung
	Dieser Artikel erklÃ¤rt auÃŸerdem die Begriffe Tensorraum und Tensorprodukt: jeder Tensor ist Element eines Tensorraums; ein Tensorraum ist das Tensorprodukt von VektorrÃ¤umen
	Mehr dazu unten
	wird ohne klare Bedeutungsunterschiede als Tensorrechnung
	Das Teilgebiet der Algebra
	das von Tensoren handelt
	Tensoralgebra oder multilineare Algebra bezeichnet
	Die Tensoranalysis hingegen handelt von Differentialoperationen auf Tensorfeldern Ã¼ber Mannigfaltigkeiten. [Bearbeiten]
Anwendungen
	Tensoren und Tensorfelder werden in verschiedenen Teilgebieten der Mathematik und Physik angewandt
	dass Tensoren in verschiedenen Anwendungsgebieten verschieden definiert
	in anderen FÃ¤llen ist diese Unterscheidung irrelevant. Man muss deshalb damit rechnen
	Vektor
	verschieden notiert und verschieden gehandhabt werden
	Diese Anwendungen sind von sehr unterschiedlicher KomplexitÃ¤t: in einigen FÃ¤llen genÃ¼gt es
	sich Tensoren als eine Verallgemeinerung von Skalar
	zwischen ko- und kontravarianten Tensoren zu unterscheiden (mehr dazu unten)
	Matrix vorzustellen; in anderen FÃ¤llen steht die Invarianz eines Tensors unter Koordinatentransformationen im Vordergrund; in einigen FÃ¤llen ist es erforderlich
	die durch Tensorgleichungen ausgedrÃ¼ckt werden
	dass Naturgesetze
	Wichtige Anwendungsgebiete umfassen: Algebra: Tensorprodukte erlauben eine elegante Formulierung der Theorie der KÃ¶rpererweiterungen. Differentialgeometrie: Tensorfelder bevÃ¶lkern das TangentialbÃ¼ndel Ã¼ber einer Mannigfaltigkeit. Physik und Ingenieurwissenschaften: Die physikalische Bedeutung von Tensoren liegt darin begrÃ¼ndet
	in beliebigen Koordinatensystemen die gleiche Gestalt haben
	Hydrodynamik; in der Elektrodynamik und Speziellen RelativitÃ¤tstheorie; sie ist unentbehrlich zum VerstÃ¤ndnis der Allgemeinen RelativitÃ¤tstheorie
	Kontinuumsmechanik
	Die Tensorsprache erweist sich als besonders zweckmÃ¤ÃŸig in der ElastizitÃ¤tstheorie
	In der Quantenmechanik zwingt eine Symmetriebrechung (Phasensprung bei Rotation um 2Ï€) dazu
	Tensoren zu Spinoren zu verallgemeinern. [Bearbeiten]
Tensoren fÃ¼r Ingenieure
	[Bearbeiten]
Naive Definition: Tensoren als Verallgemeinerung von Skalar, Vektor, Matrix
	sich Tensoren als eine Fortsetzung der Reihe Skalar
	Matrix vorzustellen
	FÃ¼r manche Anwendungen
	Vektor
	ist es vollkommen ausreichend
	zum Beispiel in der ElastizitÃ¤tstheorie
	auch Skalar genannt
	Dabei unterscheidet man Tensoren verschiedener Stufe (auch Rang genannt): Ein Tensor nullter Stufe ist einfach eine Zahl
	Ein Tensor erster Stufe wird durch einen Spaltenvektor dargestellt; im n-dimensionalen Raum hat ein solcher Tensor genau n Koeffizienten
	in dem jeder der n2 Koffizienten des Tensors durch zwei Indizes bezeichnet ist
	also ein Zahlenschema
	Ein Tensor zweiter Stufe wird durch eine quadratische Matrix dargestellt
	die durch je drei Indizes "adressiert" werden
	Ein Tensor dritter Stufe lieÃŸe sich durch eine wÃ¼rfelfÃ¶rmige Anordnung seiner n3 Koeffizienten darstellen
	die mit Hilfe von m Indizes auseinander gehalten werden. In den einzelnen Indizes kÃ¶nnen natÃ¼rlich auch verschiedene Dimensionen vorkommen. [Bearbeiten]
	Ein Tensor m-ter Stufe hat dementsprechend nm Koeffizienten
Tensoren fÃ¼r Physiker
	[Bearbeiten]
Summationskonvention
	teils unten an das Tensorsymbol angeschrieben
	Die Indizes der oben beschriebenen mehrdimensionalen Schemata werden teils oben
	z.B
	Tijk
	die unteren kovariant
	Die oberen Indizes heiÃŸen kontravariant
	wird automatisch summiert
	Im weiteren Verlauf dieses Artikels verwenden wir die von Einstein eingefÃ¼hrte Summationskonvention: Ã¼ber jeden Index
	einmal oben und einmal unten
	der auf einer Seite einer Gleichung zweimal vorkommt
	Das Summenzeichen wird dabei weggelassen
	Statt x1e1+ ... + x ne n = <math>sum_{i=1}^n<math> x iei schreiben wir also ab sofort x iei. Diese Operation wird auch als VerjÃ¼ngung des Tensors bzw
	Produkts zweier Tensoren bezeichnet
	mathematisch entspricht dem die Spurbildung Ã¼ber zwei Koordinaten oder das Einsetzen eines Vektors in eine lineare Abbildung
	Î¼:R3->R3 schreiben wir also Bi = Î¼i j Hj (mit impliziter Summation Ã¼ber j). [Bearbeiten]
	in vielen physikalischen Theorien bleibt sie Ã¼bersichtlich und die Stufen aller in der Gleichung vorkommenden Tensoren sowie VerjÃ¼ngungen lassen sich auf den ersten Blick erkennen; die Materialgleichung aus der Elektrodynamik B = Î¼(H)
	Diese Schreibweise verwenden wir neben der koordinatenfreien Notation von Tensorgleichungen
Allgemeines (alt)
	und dass eine quadratische Matrix eine lineare Abbildung oder eine Bilinearform reprÃ¤sentieren kann. In den folgenden Abschnitten stellen wir einige grundlegende Objekte der linearen Algebra in der Sichtweise der Tensoralgebra dar: dabei erarbeiten wir die genannten Unterscheidungen und fÃ¼hren zugleich zu einem tieferen VerstÃ¤ndnis des Begriffs Tensor hin
	dass einige Vektoren eigentlich Pseudovektoren sind
	Andererseits aber erzwingt die Tensoralgebra neue Unterscheidungen: sie klassifiziert geometrische Objekte danach
	dass Skalarprodukte entweder auf Linearformen zurÃ¼ckgehen oder eine Metrik voraussetzen
	und deckt dabei auf
	wie sich deren Koordinatendarstellungen unter einem Wechsel der Vektorraumbasis verhalten
	zu rekapitulieren
	das durch Koordinaten bezÃ¼glich einer Basis (Vektorraum) bezeichnet werden kann
	das einem Vektorraum angehÃ¶rt
	FÃ¼r ein tieferes VerstÃ¤ndnis von Tensoren ist es unerlÃ¤sslich
	sondern unter Basiswechsel (= Koordinatentransformation) invariant bleibt. [Bearbeiten]
	das aber nicht von einer bestimmten Basis abhÃ¤ngt
	was eigentlich ein Vektor ist: nÃ¤mlich ein geometrisches Objekt
Basis und Koordinatenvektoren
	Wir betrachten einen Vektor v aus einem n-dimensionalen Vektorraum V
	mathbf e_n) cdot begin{pmatrix}x^1\vdots\x^nend{pmatrix}<math>. Wir kÃ¶nnen E auch als lineare Abbildung E:Knâ†’V betrachten
	xn gegeben: v = x1e1 + ... + x nen=eixi. Die Koordinaten werden Ã¼blicherweise zu einem Spaltenvektor x zusammengefasst
	dots
	...
	...
	die zu einem gegebenen Koordinatenvektor einen Vektor in V erzeugt
	nach den formalen Regeln der Matrixrechnung erhalten wir die obige Linearkombination
	...
	wenn wir die Basisvektoren zu einem Zeilenvektor E=(e1
	en) zusammenfassen und schreiben <math>v=mathbf e_ix^i = mathbf Ecdot vec x = (mathbf e_1
	en) ist v durch seine Koordinaten x1
	BezÃ¼glich einer gegebenen Basis E:=(e1
	Der Koordinatenvektor kann nun durch die inverse Abbildung von E bestimmt werden
	da wir es mit einer Basis zu tun haben
	Diese existiert
	E-1:Vâ†’Kn ein Spaltenvektor linearer Funktionale
	dass unten stehende Indizes die Nummer einer Spalte bzw. den Index in einem Zeilenvektor darstellen
	oben stehende die Nummer einer Zeile bzw. den Index in einem Spaltenvektor. dass Indizes Ã¼ber kontravariante Objekte hochgestellt
	Indizes Ã¼ber kovariante Objekte tiefgestellt sind. [Bearbeiten]
	Das Hochstellen der Koordinatenindizes ist in einigen
	aber nicht allen Anwendungen der Tensorrechnung Ã¼blich; es steht im Zusammenhang mit der Unterscheidung von ko- und kontravarianten GrÃ¶ÃŸen; es wird vereinbart
Basiswechsel und Koordinatentransformationen
	Bei einem Basiswechsel im Vektorraum V tritt an die Stelle der bisherigen Basis E:=(e1
	en) eine neue Basis E`:=(e`1
	e`n). Dem Wechsel der Basis entspricht eine bijektive lineare Abbildung a:V->V
	...
	welche jedem alten Basisvektor den neuen zuordnet
	e`i = a(ei) = ej aj i (mit Summation Ã¼ber j)
	...
	Die zweite Gleichheit resultiert daraus
	dass wir jeden neuen Basisvektor als Linearkombination in der alten Basis ausdrÃ¼cken kÃ¶nnen
	womit koordinatenfrei E`=E.A entsteht. Ein Vektor v
	koordinatenfrei v = E x = E` x` = E A x oder in Indexschreibweise v = ei xi = e`j x` j = ej aj i x`i. Man liest ab
	so erhalten wir die Matrix A=((ai j)) des Basiswechsels
	der invariant bleiben soll
	hat in beiden Basen verschiedene Koordinatendarstellungen
	Fassen wir die Koeffizienten zusammen
	dass die Koordinatentransformation von x i nach x` j der Vorschrift x=A x` bzw. x j = aj i x` i genÃ¼gt
	so mÃ¼ssen wir die Matrix A invertieren: x`=A-1 x und in Indizes x` i = (a-1)i j x j. Man erkennt
	dass sich Basis und Vektorkoordinaten gegenlÃ¤ufig transformieren: von ej nach e`i mit der Matrix aj i
	Wollen wir also die neuen mittels der alten Koordinaten ausdrÃ¼cken
	von xj nach x` i dagegen mit der inversen Matrix (a-1)i  j. In der physikalischen Literatur wird oft das Beschriebene mit der Beschreibung gleichgesetzt
	besonders in der Teilchenphysik
	So wird ein Tensor mit seiner Koordinatendarstellung gleichgesetzt; ein Tensor
	dessen Koordinaten kontravariant transformieren
	wird dann als kontravarianter Tensor bezeichnet
	obwohl das beschriebene Objekt invariant bleibt
	als geometrische Objekte sind sie ja invariant. [Bearbeiten]
	Vektoren werden demnach als kontravariante Tensoren erster Stufe bezeichnet
	obwohl nur ihre Koordinatendarstellung es ist
Linearformen (1-Formen) als kovariante Tensoren erster Stufe
	Eine Linearform ist eine lineare Abbildung aus einem Vektorraum in den zugrundeliegenden SkalarkÃ¶rper
	Der Vektorraum aller Linearformen Ã¼ber einem Vektorraum V ist dessen Dualraum V *
	...
	dann kann man in kanonischer Weise eine Basis {e1
	wobei das Kronecker-Symbol Î´i j</sup> fÃ¼r i = j den Wert 1
	en} von V gegeben ist
	so dass gilt: ei(ej</sup>) = Î´i j</sup>
	en} von V * wÃ¤hlen
	sonst den Wert 0 hat
	Wenn eine bestimmte Basis {e1
	...
	ist zu fordern: bei einem Basiswechsel im Vektorraum V transformieren die Basisvektoren ei</sub> des Dualraums V * kontravariant
	liefert dann f(v) = fi ei (v j ej) = fi v j ei(ej) = fi v j Î´i j</sup> = fi v i. Damit die Beziehungen ei(ej</sup>) = Î´i j</sup> und f(v) = fi v i unabhÃ¤ngig von der Wahl bestimmter Basen gelten
	Eine Linearform f = fi ei
	wie wir es in der Notation durch Hoch- beziehungsweise Tiefstellen der Indizes schon vorweggenommen haben
	auf einen Vektor v angewandt
	und die Koeffizienten fi einer Linearform f kovariant
	Eine Linearform
	die diese Transformationseigenschaften aufweist
	heiÃŸt 1-Form oder kovarianter Tensor erster Stufe oder einfach kovarianter Vektor. [Bearbeiten]
Matrizen und Tensorprodukte
	Wir kÃ¶nnen einer beliebigen quadratischen Matrix B ein invariantes Objekt
	nÃ¤mlich ein Skalar
	zuordnen
	indem wir mit zwei Koordinatenvektoren x und y das Produkt <math> x^tBy=b_{ij}x^iy^j<math> bilden. DrÃ¼cken wir es in den von den Koordinaten beschriebenen invarianten Vektoren v=E.x und w=E.y aus
	kÃ¶nnen wir das invariante Objekt ablesen
	man schreibt sie als <math>b=b_{ij}e^iotimes e^j<math> [Bearbeiten]
	welches A zuzuordnen ist: <math>x^tBy=(mathbf E^{-1}v)^tBmathbf E^{-1}w=b_{ij} e^i(v)e^j(w)<math>. Wir erhalten also eine Bilinearform b:V x V -> K
Tensoren in der Mathematik
	[Bearbeiten]
Ko- und Kontravarianz als Eigenschaften von Abbildungen
	Sei V ein fester K-Vektorraum und W ein beliebiger weiterer K-Vektorraum
	Eine lineare Abbildung f:W->V heiÃŸt kovariant bzgl
	dass in der Physik und Ã¤lteren LehrbÃ¼chern davon gesprochen wird
	V
	eine lineare Abbildung g:V->W heiÃŸt kontravariant in V. Eine Quelle der Verwirrung Ã¼ber diese Begriffe ist
	dass sich die Matrizen dieser Abbildungen ko- bzw. kontravariant unter Basiswechsel transformieren
	die kontravariant bzgl
	Jedoch kehren sich dabei die Zuordnungen um; eine kovariante Abbildung hat eine Matrix
	Basiswechsel ist und umgekehrt
	Grundlegende Beispiele: Ein Vektor vâˆˆV ist mit der Abbildung i:Kâ†’V zu identifizieren
	welche K auf die Gerade xâ†¦x.v mit der Richtung v abbildet
	somit ist er kontravariant in V. [Bearbeiten]
	Ein Vektor ist also kovariant. Ein Kovektor vâˆˆV ist als lineares Funktional v*:Vâ†’K definiert
Tensorprodukt
	Seien U und V zwei VektorrÃ¤ume Ã¼ber gemeinsamem GrundkÃ¶rper K
	der folgendes erfÃ¼llt: es gibt eine bilineare Abbildung i:U x V -> W und zu jeder anderen bilinearen Abbildung b:U x V -> X gibt es eine Hebung genannte lineare Abbildung B:W -> X
	b) aus U x V <math>i(a
	mit der sich b auf i zurÃ¼ckfÃ¼hren lÃ¤ÃŸt: <math>b=B circ i<math>. Man schreibt <math>W=:Uotimes V<math> und fÃ¼r ein Paar (a
	b)=:aotimes b<math>
	Dann wird das Tensorprodukt UâŠ—V der VektorrÃ¤ume Ã¼ber eine universelle Eigenschaft definiert als "kleinster" Vektorraum W (siehe Anmerkung)
	Letzteres wird auch Tensorprodukt der Vektoren genannt
	welche aus allen Tensorprodukten der Basiselemente besteht
	so hat <math>Uotimes V<math> zu jedem Paar von Basen in U und V eine Basis
	Sind U und V endlichdimensional
	dass die Dimensionen sich multiplizieren zur Dimension des Tensorprodukts
	Daraus ergibt sich
	in welcher Reihenfolge die Faktoren zusammengefaÃŸt wurden. (Anmerkung) Es gibt streng genommen nicht den Vektorraum
	Das Tensorprodukt kann mehrfach angewandt werden
	d.h. in einem mehrfachen Tensorprodukt ist es nicht wichtig
	der das Tensorprodukt ist
	es ist assoziativ
	die ein Tensorprodukt von U und V sind
	Vielmehr gibt es eine Klasse von isomorphen VektorrÃ¤umen
	Und die VektorrÃ¤ume
	sind nicht linear sondern partiell geordnet
	die die erste Bedingung erfÃ¼llen
	Tensorprodukt sind die minimalen VektorrÃ¤ume daraus. [Bearbeiten]
Tensorprodukte eines Vektorraums und Symmetrie
	Man kann das Tensorprodukt <math>mathcal T^2V:=Votimes V<math> eines Vektorraumes V mit sich selbst bilden
	der darin besteht
	Ohne weiteres Wissen Ã¼ber den Vektorraum kann ein Automorphismus des Tensorprodukts definiert werden
	welches <math>Pi_{12}(w):=w<math> erfÃ¼llt
	in den reinen Produkten <math>aotimes b<math> die Faktoren zu vertauschen
	<math>Pi_{12}(aotimes b):=botimes a<math>. Das Quadrat dieser Abbildung ist die IdentitÃ¤t
	heiÃŸt symmetrisch
	woraus Folgt
	dass es Eigenvektoren zum Eigenwert 1 und zum Eigenwert -1 gibt. Ein <math>win Uotimes V<math>
	Beispiele sind die Elemente w=aâŠ™b:=<math>frac12(aotimes b+botimes a)<math>
	Die Menge aller symmetrischen Tensoren der Stufe 2 wird mit <math>mathcal S^2V=(1+Pi_{12})(Votimes V)<math> bezeichnet. Ein <math>win Uotimes V<math>
	heiÃŸt antisymmetrisch oder alternierend
	welches <math>Pi_{12}(w):=-w<math> erfÃ¼llt
	Beispiele sind die Elemente <math>w=awedge b:=frac12(aotimes b-botimes a)<math>
	Die Menge aller antisymmetrischen Tensoren der Stufe 2 wird mit <math>Lambda^2V:=(1-Pi_{12})(Votimes V)<math> bezeichnet. Mittels <math>mathcal T^{n+1}V:=Votimes mathcal T^nV<math> kÃ¶nnen Tensorpotenzen von V beliebiger Stufe gebildet werden
	Entsprechend kÃ¶nnen weitere paarweise Vertauschungen definiiert werden
	Nur sind diese nicht mehr voneinander unabhÃ¤ngig
	die unter sÃ¤mtlichen Permutationen invariant sind sowie der Unterraum <math>Lambda^nVsubsetmathcal T^nV<math> derjenigen Elemente
	die unter sÃ¤mtlichen Paarvertauschungen ihr Vorzeichen Ã¤ndern (siehe GraÃŸmann-Algebra). [Bearbeiten]
	So lÃ¤ÃŸt sich jede Vertauschung der Stellen j und k auf Vertauschungen mit der ersten Stelle zurÃ¼ckfÃ¼hren. <math>Pi_{jk}=Pi_{1j}circPi_{1k}circPi_{1j}<math> Es kann wieder der Untervektorraum <math>mathcal S^nVsubsetmathcal T^nV<math> aller Elemente gebildet werden
Skalarprodukt versteckt eine Metrik oder eine 1-Form
	In der Linearen Algebra fÃ¼hren verschiedene Ãœberlegungen auf das Skalarprodukt: mit Hilfe des Skalarprodukts kann man die LÃ¤nge eines Vektors berechnen: \|v\| = (vÂ·v)1/2; den Cosinus des Winkels zwischen zwei Vektoren berechnen: cos(Winkel zwischen v und w) = vÂ·w / (\|v\|Â·\|w\|); eine Ebenengleichung in kompakter Weise schreiben (Hessesche Normalform): wenn nÂ·x=c
	dann liegt x in der durch den Normalenvektor n und den Skalarwert c festgelegten Ebene. Bei der Berechnung von LÃ¤ngen oder Winkeln steht das Skalarprodukt fÃ¼r eine Abbildung aus VÃ—V in den zugrundeliegenden SkalarkÃ¶rper
	In Tensorsprache ist diese Abbildung eine durch den metrischen Tensor gij gegebene Bilinearform: mehr dazu unten
	In der Hesseschen Normalform dagegen liegt es nahe
	den Normalenvektor n als eine 1-Form zu lesen: nÂ·x = (ni ei) Â· (xj ej) = ni ei (xj ej) = ni xj ei (ej) = ni xj Î´i j</sup> = ni xi. Man setzt also das Skalarprodukt ei Â· ej mit der Linearform ei(ej) gleich
	In dieser Weise kann man jeden kovarianten Vektor als eine 1-Form auffassen. [Bearbeiten]
Differential als 1-Form
	Das Gradient eines skalaren Vektorfeldes f(x) ermÃ¶glicht die lineare Approximation f(x) = f(x0) + gradf(x0) Â· (x - x0) + O(\|x - x0\|2). Der Gradient gradf muss kovariant sein
	damit das Skalarprodukt gradf(x0) Â· (x - x0) basisunabhÃ¤ngig ist; nach dem oben gesagten kann man zum Gradienten eines Skalarfeldes deshalb eine 1-Form assoziieren
	Diese ist die Jacobi-Zeile dfder partiellen Ableitungen von f
	Bei beliebiger Metrik g muss somit gelten g(gradf(x)
	der zweite linear
	v)=df(x)(v)
	im Differential ist der erste Operand nichtlinear
	Geht man zu den Koordinaten Ã¼ber und beachtet <math>g^{ij}g_{jk}=delta^i{}_j<math>
	sondern die gemeinsame Tensorstufe von d und df beschreibt). [Bearbeiten]
	so ist [gradf(x)]i=gijâˆ‚jf(x) Von f abstrahiert
	kann man auch den Gradienten-Operator grad = ei <math>g^{ij}fracpartial{partial x^i}<math> = ei gij âˆ‚i als Vektor und den Differentialoperator d=eiâˆ‚i 1-Form auffassen (was wohlgemerkt nicht seine Wirkung auf ein Skalarfeld f
Koordinatentransformation mittels Jacobi-Matrix
	Die Transformationsmatrix ai j ist selbst kein Tensor
	denn sie ist kein koordinatenunabhÃ¤ngiges geometrisches Objekt
	sondern beschreibt im Gegenteil just einen Wechsel des Koordinatensystems
	dass der Gradient kovariant transformiert: <math>frac{partial {x'}^i}{partial x^j}<math> = âˆ‚jx`i = âˆ‚j ai k xk = ai k Î´jk = ai j. [Bearbeiten]
	Formal kann man die Transformationsmatrix als Jacobi-Matrix schreiben
	indem man den Gradienten bezÃ¼glich der alten Koordinaten auf den Ortsvektor in neuen Koordinaten anwendet und ausnutzt
Lineare Abbildungen als Tensoren der Stufe 1+1
	h(v)` i = a i j h(v) j = a i j h j k v k = a i j h j k (a-1)k l v` l = h` i l v` l folgt
	im anderen kontravariant transformieren
	dass sich die Matrixkomponenten gemÃ¤ÃŸ h` i l = a i j h j k (a-1)k l
	also im einen Index kovariant
	Die Wirkung einer linearen Abbildung h : V â†’ V auf die Koordinaten eines Vektors v kann durch eine quadratische Matrix h i j dargestellt werden: h(v)i = h i j v  j. Aus dem Transformationsverhalten unter einem Basiswechsel
	Eine lineare Abbildung h ist somit ein Tensor zweiter Stufe; fÃ¼r eine gegebene Basis von V (und damit auch von V *) kann man h als Linearkombination einfach kovarianter mit einfach kontravarianten Basisvektoren schreiben: h = h i j ei e j. [Bearbeiten]
Formale Definition: Tensoren der Stufe r+s, Tensorprodukt, Tensorraum
	...
	lambda^r <math> Argumente des zum Vektorrraum gehÃ¶renden Dualraumes <math>V^*<math>
	v_s <math> sind Elemente eines Vektorraumes <math>V<math> und <math> lambda^1
	lambda^r. <math> Die Argumente <math> v_1
	Man definiert einen Tensor vom Grad (r
	...
	s) als multilineare Abbildung mit s Argumenten <math> v_1
	...
	...v_s <math> und r Argumenten <math> lambda^1
	lambda^1
	lambda^1
	...v_s
	lambda^r) rightarrow T(v_1
	Der Tensor hat dann die Form <math> begin{matrix} underbrace{Vtimes Vtimes dots times V} \ s; mal end{matrix} begin{matrix} times underbrace{V^* times V^* times dots times V^*} rightarrow mathbb{R} \ r;mal end{matrix} <math> <math> (v_1
	...
	...v_s
	...
	lambda^r) <math> Die Summe r + s heiÃŸt Stufe oder Rang des Tensors
	Je nachdem
	ob die Argumente aus einem Vektorraum sind oder aus dessen Dualraum
	wird der Tensor als kovariant oder kontravariant bezeichnet
	r-fach kontravarianter Tensor vor
	Im obigen Fall liegt ein s-fach kovarianter
	Der durch den nachfolgenden Link referenzierte Artikel vergleicht die in der Physik verwendeten Tensoren mit der rein mathematischen Definition. [Bearbeiten]
Pseudovektoren
	siehe einstweilen: Pseudovektor [Bearbeiten]
Wort- und Begriffsgeschichte
	Das Wort Tensor (lat.: tendo ich spanne) wurde in den 1840er Jahren von Hamilton in die Mathematik eingefÃ¼hrt; er bezeichnete damit den Absolutbetrag seiner Quaternionen [1] (http://mail.mcjh.kl.edu.tw/~chenkwn/mathword/t.html)
	also noch keinen Tensor im modernen Sinn
	selbst noch nicht so genannt zu haben
	den er aus der ElastizitÃ¤tstheorie in die Elektrodynamik Ã¼bertrug
	Maxwell scheint den Spannungstensor
	1898) eingefÃ¼hrt
	wird das Wort Tensor erstmals von Woldemar Voigt in seinem Buch Die fundamentalen physikalischen Eigenschaften der Krystalle in elementarer Darstellung (Leipzig
	Matrix
	Vektor
	In seiner modernen Bedeutung
	als Verallgemeinerung von Skalar
	Unter dem Titel absolute Differentialgeometrie entwickelten Gregorio Ricci-Curbastro und dessen SchÃ¼ler Tullio Levi-Civita um 1890 die Tensorrechnung auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten; einem grÃ¶ÃŸeren Fachpublikum machten sie ihre Ergebnisse 1900 mit dem Buch calcolo differenziale assoluto zugÃ¤nglich
	das bald in andere Sprachen Ã¼bersetzt wurde und aus dem sich Einstein unter groÃŸer MÃ¼he die mathematischen Grundlagen aneignete
	die er zur Formulierung der Allgemeinen RelativitÃ¤tstheorie benÃ¶tigte
	Einstein selbst prÃ¤gte 1916 den Begriff Tensoranalysis und trug mit seiner Theorie maÃŸgeblich dazu bei
	den TensorkalkÃ¼l bekannt zu machen; er erfand Ã¼berdies die Summationskonvention. en:Tensor es:CÃ¡lculo tensorial fr:Tenseur hu:Tenzor ja:ãƒ†ãƒ³ã‚½ãƒ« nl:Tensor pl:Tensor ru:Ð¢ÐµÐ½Ð·Ð¾Ñ€ sv:Tensor

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Thales Taxaceae

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Inhalt Lexikon:

Allgemein

Einordnung in die Mathematik einerseits und Physik und Ingenieurwissenschaften andererseits

Weitere Bemerkungen

Anwendungen

Tensoren fÃ¼r Ingenieure

Naive Definition: Tensoren als Verallgemeinerung von Skalar, Vektor, Matrix

Tensoren fÃ¼r Physiker

Summationskonvention

Allgemeines (alt)

Basis und Koordinatenvektoren

Basiswechsel und Koordinatentransformationen

Linearformen (1-Formen) als kovariante Tensoren erster Stufe

Matrizen und Tensorprodukte

Tensoren in der Mathematik

Ko- und Kontravarianz als Eigenschaften von Abbildungen

Tensorprodukt

Tensorprodukte eines Vektorraums und Symmetrie

Skalarprodukt versteckt eine Metrik oder eine 1-Form

Differential als 1-Form

Koordinatentransformation mittels Jacobi-Matrix

Lineare Abbildungen als Tensoren der Stufe 1+1

Formale Definition: Tensoren der Stufe r+s, Tensorprodukt, Tensorraum

Pseudovektoren

Wort- und Begriffsgeschichte