Quadratwurzel

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Quadratwurzel

Stichpunkte

Allgemein
	deren Quadrat gleich der gegebenen Zahl <math>x<math> ist
	Unter der Quadratwurzel einer Zahl <math>x<math> versteht man in der Mathematik eine Zahl
	Das Symbol fÃ¼r die Quadratwurzel aus <math>x<math> ist <math>sqrt{x}<math>
	Dabei wird die Zahl beziehungsweise der Rechenausdruck unter der Wurzel als Radikand bezeichnet
	MÃ¶glich wÃ¤re auch die ausfÃ¼hrlichere Schreibweise <math>sqrt[2]{x}<math>
	AuÃŸerdem kann man die Quadratwurzel als Potenz ausdrÃ¼cken. <math>x^{frac{1}{2}}<math> ist gleichwertig zu <math>sqrt{x}<math>
	Beispiel: Wegen <math>3^2 = 3 cdot 3 = 9<math> gilt <math>sqrt{9} = 9^{frac{1}{2}} = 3<math>
	dann ist die Quadratwurzel in vielen FÃ¤llen nicht definiert
	Beim der formalen Definition der Quadratwurzel sind zwei Probleme zu berÃ¼cksichtigen: Wenn man sich auf rationale Zahlen beschrÃ¤nkt
	dass etwa die Zahl <math>sqrt{2}<math> keine rationale Zahl sein kann (siehe Euklids Beweis fÃ¼r IrrationalitÃ¤t von Wurzel 2). Im Allgemeinen existieren zwei verschiedene Zahlen
	Schon in der Antike fand man heraus
	deren Quadrate mit einer vorgegebenen Zahl Ã¼bereinstimmen
	Beispielsweise wÃ¤re wegen <math>(-3)^2 = (-3) cdot (-3) = 9<math> auch die Zahl -3 ein mÃ¶glicher Kandidat fÃ¼r die Quadratwurzel aus 9. Das Symbol fÃ¼r die Quadratwurzel wurde zum ersten Mal wÃ¤hrend des 16
	Jahrhunderts benutzt
	das als AbkÃ¼rzung fÃ¼r das lateinische Wort "radix" (Wurzel) steht
	dass das Zeichen eine modifizierte Form des kleinen r ist
	Es wird vermutet
	UrsprÃ¼nglich wurde das Symbol dem Radikanden vorangestellt; die waagerechte VerlÃ¤ngerung fehlte
	Noch Carl Friedrich GauÃŸ verwendete daher Klammern fÃ¼r kompliziertere WurzelausdrÃ¼cke und schrieb zum Beispiel <math>sqrt{}(b^2-4ac)<math> anstelle von <math>sqrt{b^2-4ac}<math>
	"Verbergen") 1 Quadratwurzeln aus reellen Zahlen 2 Praktische Bestimmung von Quadratwurzeln aus reellen Zahlen 3 Quadratwurzeln aus komplexen Zahlen 4 Quadratwurzeln modulo n 4.1 Berechnung von Quadratwurzeln modulo einer Primzahl p 4.1.1 Berechnung fÃ¼r den Fall p = 3 mod 4 4.1.2 Berechnung fÃ¼r den Fall p = 1 mod 4 5 Verallgemeinerung 6 Siehe auch [Bearbeiten]
	Im Englischen wird die Quadratwurzel als "square root" bezeichnet
	weshalb in vielen Programmiersprachen die Bezeichnung "sqrt" fÃ¼r die Quadratwurzelfunktion verwendet wird. Inhaltsverzeichnis showTocToggle("Anzeigen"
Quadratwurzeln aus reellen Zahlen
	deren Quadrat <math>r^2 = r cdot r<math> gleich <math>x<math> ist. Das oben erwÃ¤hnte Problem
	Definition: Die Quadratwurzel <math>sqrt{x}<math> einer nicht-negativen reellen Zahl <math>x<math> ist diejenige nicht-negative reelle Zahl <math>r<math>
	dass <math>sqrt{x}<math> nicht definiert sein kÃ¶nnte
	tritt im Bereich der reellen Zahlen fÃ¼r <math>x ge 0<math> nicht auf
	da negative Zahlen (z.B. -3) ausgeschlossen wurden. [Bearbeiten]
	Auch die Eindeutigkeit ist gewÃ¤hrleistet
Praktische Bestimmung von Quadratwurzeln aus reellen Zahlen
	Selbst dann
	wenn die Quadratwurzel aus einer natÃ¼rlichen Zahl gezogen werden soll
	die sich durch einen nicht-periodisch unendlichen Dezimalbruch ausdrÃ¼cken lÃ¤sst
	ist das Ergebnis hÃ¤ufig eine irrationale Zahl
	Es geht also oft nur darum
	einen NÃ¤herungswert ausreichender Genauigkeit zu finden
	Dazu gibt es eine Reihe von MÃ¶glichkeiten: Schriftliches Wurzelziehen: Hierbei handelt es sich um einen Algorithmus Ã¤hnlich dem gÃ¤ngigen Verfahren der schriftlichen Division. Intervallschachtelung: Dieses Verfahren ist recht leicht zu verstehen
	dass <math>sqrt{2}<math> zwischen 1 und 2 liegen muss
	wenn auch in der praktischen DurchfÃ¼hrung sehr mÃ¼hsam. Beispiel (NÃ¤herungswert fÃ¼r <math>sqrt{2}<math>): Aus <math>1^2 = 1 < 2<math> und <math>2^2 = 4 > 2<math> folgt
	4 und 1
	}2^2<math> usw. durch. Aus <math>1{
	<math>1{
	Daher probiert man <math>1{
	}25 > 2<math> erkennt man
	}5^2 = 2{
	dass <math>sqrt{2}<math> zwischen 1
	5 liegen muss
	}1^2<math>
	}4^2 = 1{
	}96 < 2<math> und <math>1{
	Fortsetzung dieses Verfahrens mit immer mehr Nachkommastellen liefert schlieÃŸlich einen NÃ¤herungswert mit der gewÃ¼nschten Genauigkeit: <math>sqrt{2} = 1{
	}41421356ldots<math> Babylonisches Wurzelziehen oder Heron-Verfahren: Dieses Iterationsverfahren wird insbesondere von Taschenrechnern verwendet
	da es schnell konvergiert. Die Taylorreihen-Entwicklung von <math>sqrt{x}<math> mit Entwicklungspunkt 1 kann mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes gefunden werden
	Die Reihe konvergiert fÃ¼r <math>\|x\| < 1<math> punktweise gegen den Funktionswert der Wurzelfunktion. <math>sqrt{x+1}=1 + sum_{n=1}^infty { (-1)^{n+1} (2n-2)! over n! ; (n-1)! ; 2^{2n-1} }x^n<math> <math> = 1 + frac{1}{2}x - frac{1}{8}x^2 + frac{1}{16} x^3 - frac{5}{128} x^4 + dots<math> [Bearbeiten]
Quadratwurzeln aus komplexen Zahlen
	die Eindeutigkeit von <math>sqrt{z}<math> zu erzwingen
	FÃ¼r eine komplexe Zahl <math>z<math> gibt es keine sinnvolle MÃ¶glichkeit
	Man kann also fÃ¼r <math>z ne 0<math> nur von den beiden Quadratwurzeln der Zahl <math>z<math> sprechen
	Diese ergeben sich aus <math>sqrt{z} = sqrt{x+iy} = pm left( sqrt{frac{left\|x+iyright\| + x}{2}} + i cdot mathrm{sign}(y) cdot sqrt{frac{left\|x+iyright\| - x}{2}} right) <math> Dabei steht sign(<math>y<math>) fÃ¼r das Vorzeichen von <math>y<math> und <math>left\| z right\| = left\| x+iy right\| = sqrt{x^2 + y^2} <math> fÃ¼r den Betrag von <math>z<math>
	dann hat die Quadratwurzel die Darstellung <math> sqrt{z} = sqrt{\|z\| e^{ileft({rm arg}(z)+ncdot 2piright)}} = sqrt{\|z\|} e^{ileft( {rm arg}(z)/2+ncdot piright)}
	<math> wobei <math>n<math> die Werte 0 oder 1 annehmen kann. Der Betrag der beiden Wurzeln ergibt sich demnach als die Wurzel aus dem Betrag der komplexen Zahl
	Ist <math>z<math> in Polarkoordinaten gegeben
	Bei der LÃ¶sung mit <math>n = 0<math> wird das Argument (in der komplexen Zahlenebene also der Winkel zwischen dem Radiusvektor und der reellen Achse; sein Tangens ist das VerhÃ¤ltnis von ImaginÃ¤r- zu Realteil) halbiert. Die andere LÃ¶sung (fÃ¼r <math>n = 1<math>) ergibt sich geometrisch durch Punktspiegelung am Ursprung
	Beispiel (Quadratwurzeln aus <math>z = -1+isqrt{3}<math>): ZunÃ¤chst werden Betrag und Argument des Radikanden ermittelt. <math>r = \|-1+isqrt{3}\| = sqrt{(-1)^2 + (sqrt{3})^2} = sqrt{1+3} = sqrt{4} = 2<math> <math>tanvarphi = frac{sqrt{3}}{-1} = -sqrt{3}<math> <math>varphi = frac{2}{3} pi<math> (2
	Quadrant!) Eine der Wurzeln ergibt sich aus <math>w_1 = sqrt{r} cdot e^{i frac{varphi}{2}} = sqrt{2} cdot e^{frac{1}{3} pi}<math> <math>= sqrt{2} cdot left( cos(frac{1}{3} pi) + i sin(frac{1}{3} pi) right) = sqrt{2} cdot left( frac{1}{2} + i cdot frac{1}{2}sqrt{3} right).<math> Die andere Wurzel erhÃ¤lt man durch Vorzeichenumkehr: <math>w_2 = -w_1 = sqrt{2} cdot left( -frac{1}{2} - i cdot frac{1}{2}sqrt{3} right)<math> [Bearbeiten]
Quadratwurzeln modulo n
	Auch im Restklassenring Z/nZ lassen sich Quadratwurzeln definieren
	wenn gilt: <math>q^2 equiv x ;mathrm{mod}; n<math> Allerdings muss man sich zur Berechnung von Quadratwurzeln modulo n anderer Methoden bedienen als beim Berechnen reeler oder komplexer Quadratwurzeln
	Ganz analog zu den reellen und komplexen Zahlen heisst q eine Quadratwurzel von x
	Um die Quadratwurzeln von x modulo n zu bestimmen
	geht man folgendermassen vor: Zuerst bestimmt man die Primfaktorzerlegung von n: <math>n = p_1^{m_1} cdot p_2^{m_2} cdots p_{k}^{m_k}<math> und bestimmt die LÃ¶sungen modulo der jeweiligen Primpotenzen pm
	Diese LÃ¶sungen setzt man schliesslich mit dem Chinesischen Restsatz zur gesuchten LÃ¶sung zusammen. [Bearbeiten]
Berechnung von Quadratwurzeln modulo einer Primzahl p
	verwendet man das Legendre-Symbol <math>left(frac{x}{p}right) equiv x^{frac{p-1}{2}}mod p <math> denn es gilt: <math> left(frac{x}{p}right) = left{begin{matrix} -1 & mbox{wenn } x mbox{ kein quadratischer Rest modulo } p mbox{ ist} \ 0 & mbox{wenn } x mbox{ und } p mbox{ nicht teilerfremd sind } \ 1 & mbox{wenn } x mbox{ ein quadratischer Rest modulo } p mbox{ ist} \ end{matrix}right.<math> Im ersten Falle besitzt x keine Quadratwurzel in in Z/pZ und im zweiten Fall nur die Quadratwurzel 0
	FÃ¼r Primzahlen p ungleich 2 geschieht das Berechnen der Quadratwurzeln zu x so: Um zu testen
	ob x Ã¼berhaupt eine Quadratwurzel in Z/pZ hat
	Der interessante Fall ist also der dritte Fall
	und daher nehmen wir im folgenden an
	dass (x \| p) = 1 ist. [Bearbeiten]
Berechnung fÃ¼r den Fall p = 3 mod 4
	dann sind <math>q equiv pm x^{frac{p+1}{4}} mbox{ mod } p <math> die 2 Quadratwurzeln von x modulo p. [Bearbeiten]
	Ist das Legendre-Symbol (x \| p) = 1
Berechnung fÃ¼r den Fall p = 1 mod 4
	Ist das Legendre-Symbol <math>(x\|p) = 1<math>
	dann sind <math> q equiv pm frac{x}{2r}left(W_frac{p-1}{4} + W_frac{p+3}{4} right) mbox{ mod } p<math> die 2 Quadratwurzeln von <math>x<math> modulo <math>p<math>
	Hierbei wÃ¤hlt man r dergestalt
	dass das Legendre-Symbol <math> left(frac{r^2-4x}{p}right) = -1<math> ist
	Dazu einfach verschiedene Werte von r durchprobieren
	denn es ist <math> left(frac{r^2-4x}{p}right) equiv (r^2-4x)^frac{p-1}{2} equiv (-8)^{18} equiv 36 equiv -1 mbox{ mod } 37. <math> Die Werte fÃ¼r <math>W_9<math> und <math>W_{10}<math> ergeben sich zu <math>begin{matrix} W_1 &equiv& r^2/x - 2 &equiv& 4/3 -2 &equiv& 24 & quadmathrm{mod}quad 37 \ W_2 &equiv& W_1^2-2 &equiv& 24^2-2 &equiv& 19 & quadmathrm{mod}quad 37 \ W_3 &equiv& W_1 W_2 - W_1 &equiv& 24cdot 19 - 24 &equiv& 25 & quadmathrm{mod}quad 37 \ W_4 &equiv& W_2^2-2 &equiv& 19^2-2 &equiv& 26 & quadmathrm{mod}quad 37 \ W_5 &equiv& W_2 W_3 - W_1 &equiv& 19cdot 25 - 24 &equiv& 7 & quadmathrm{mod}quad 37 \ W_9&equiv& W_4 W_5 - W_1 &equiv& 26cdot 7 - 24 &equiv& 10 & quadmathrm{mod}quad 37 \ W_{10} &equiv& W_5^2-2 &equiv& 7^2-2 &equiv& 10 & quadmathrm{mod}quad 37 \ end{matrix}<math> Einsetzen dieser Werte ergibt <math> q equiv pm frac{x}{2r}left(W_9 + W_{10} right) equiv pm frac{3}{4}(10 + 10) equiv pm 15 mbox{ mod } 37<math> das heisst 15 und 22 sind die beiden Quadratwurzeln von 3 modulo 37. [Bearbeiten]
	Die Folge <math>W_n<math> ist rekursiv definiert: <math> W_n = left{ begin{matrix} r^2/x-2 & mbox{ wenn } n = 1 \ W_{n/2}^2-2 & mbox{ wenn } n mbox{ gerade} \ W_{(n+1)/2}W_{(n-1)/2}-W_1 & mbox{ wenn } n > 1 mbox{ ungerade} end{matrix}right. <math> Rechenbeispiel fÃ¼r <math>x=3<math> und <math>p=37<math>: Nach obiger Formel sind die Quadratwurzeln von <math>x<math> gegeben durch <math> q equiv pm frac{x}{2r}left(W_9 + W_{10} right) mbox{ mod } 37<math> FÃ¼r <math>r<math> findet man durch Probieren den Wert <math>r = 2<math>
Verallgemeinerung
	Die Quadratwurzel ist ein Spezialfall der allgemeinen Wurzel
	Eine Ã¼ber dem Wurzelzeichen stehende natÃ¼rliche Zahl bezeichnet den Wurzelexponenten
	deren 5
	Beispielsweise bedeutet im reellen Fall <math>sqrt[5]{x}<math> diejenige nicht-negative Zahl
	Potenz gleich <math>x<math> ist
	Fehlt der Wurzelexponent
	so wird dafÃ¼r eine 2 angenommen
	und es handelt sich um eine Quadratwurzel. [Bearbeiten]
Siehe auch
	Restklassenring da:Kvadratrod en:Square root es:RaÃz cuadrada fi:NeliÃ¶juuri fr:Racine carrÃ©e is:FerningsrÃ³t it:Radice quadrata ja:å¹³æ–¹æ ¹ nl:Vierkantswortel pl:Pierwiastek kwadratowy pt:Raiz quadrada su:Akar kuadrat sv:Kvadratrot zh:å¹³æ–¹æ ¹
	Wurzel (Mathematik)
	Babylonisches Wurzelziehen
	Modulo
	Euklids Beweis fÃ¼r IrrationalitÃ¤t von Wurzel 2
	Schriftliches Wurzelziehen

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Betrag Garten Rasen (BegriffsklÃ¤rung) Wehrersatzdienst Kriegsdienstverweigerer Nordholz (bei Cuxhaven) Rasen (BegriffsklÃ¤rung) Wehrpflicht El NiÃ±o Robotik

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Inhalt Lexikon:

Allgemein

Quadratwurzeln aus reellen Zahlen

Praktische Bestimmung von Quadratwurzeln aus reellen Zahlen

Quadratwurzeln aus komplexen Zahlen

Quadratwurzeln modulo n

Berechnung von Quadratwurzeln modulo einer Primzahl p

Berechnung fÃ¼r den Fall p = 3 mod 4

Berechnung fÃ¼r den Fall p = 1 mod 4

Verallgemeinerung

Siehe auch