Stichpunkte

Allgemein
	ob eine Zahl ein quadratischer Rest oder ein quadratischer Nichtrest ist
	Das Quadratische Reziprozitätsgesetz gibt
	zusammen mit den beiden unten genannten Ergänzungssätzen ein Verfahren an
	um das Legendre-Symbol zu berechnen und damit zu entscheiden
	dass für zwei unterschiedliche Primzahlen p und q gilt: <math>left(frac{p}{q}right)left(frac{q}{p}right)=left{begin{matrix}-1&mbox{wenn}&pequiv qequiv3 pmod 4\1&mbox{sonst}&end{matrix}right.<math> 1
	Das Quadratische Reziprozitätsgesetz besagt
	Ergänzungssatz: Für eine ungerade Primzahl p gilt: <math>left(frac{-1}{p}right)=left{begin{matrix}1&mbox{falls}&pequiv 1pmod 4\-1&mbox{sonst}&end{matrix}right.<math> 2
	Ergänzungssatz: Für eine ungerade Primzahl p gilt: <math>left(frac{2}{p}right)=left{begin{matrix}1&mbox{falls}&pequiv 1mbox{ oder }7pmod 8\-1&mbox{sonst}&end{matrix}right.<math> [Bearbeiten]
Beispiele
	Man möchte entscheiden
	ob die Gleichung <math>x^2equiv10pmod{13}<math> eine Lösung besitzt
	Dazu berechnet man <math>left(frac{10}{13}right)=left(frac{2}{13}right)left(frac{5}{13}right)<math> (das Legendre-Symbol ist multiplikativ im Zähler) Der erste Faktor lässt sich mit Hilfe des zweiten Ergänzungssatzes zu -1 bestimmen
	Um den zweiten Faktor zu berechnen
	dass <math>13equiv3pmod{5}<math>
	wendet man das Reziprozitätsgesetz an: <math>left(frac{5}{13}right)=left(frac{13}{5}right) =left(frac{3}{5}right) =left(frac{5}{3}right) =left(frac{2}{3}right) =-1<math> Hier wurde beim zweiten Gleichheitszeichen ausgenutzt
	Analog auch beim vorletzten Gleichheitszeichen
	Setzt man nun beide Faktoren zusammen
	ob die Gleichung <math>x^2equiv57pmod{127}<math> eine Lösung besitzt
	dass die obige Gleichung eine Lösung besitzt. (Die beiden Lösungen lauten 6 und 7.) Man möchte entscheiden
	so ergibt sich
	<math>left(frac{10}{13}right)=1<math> und damit weiß man
	Dazu berechnet man wieder <math>left(frac{57}{127}right)=left(frac{3}{127}right)left(frac{19}{127}right)<math> und kann wie oben die beiden Faktoren mit dem Reziprozitätsgesetz weiter vereinfachen: <math>left(frac{3}{127}right) =(-1)left(frac{127}{3}right) =(-1)left(frac{1}{3}right) =-1<math> und <math>left(frac{19}{127}right) =(-1)left(frac{127}{19}right) =(-1)left(frac{13}{19}right) =(-1)left(frac{19}{13}right) =(-1)left(frac{6}{13}right)<math> <math>=(-1)left(frac{2}{13}right)left(frac{3}{13}right) =(-1)(-1)left(frac{13}{3}right) =(-1)(-1)left(frac{1}{3}right) =1<math> Setzt man alles zusammen
	dass die obige Gleichung keine Lösung besitzt. en:Quadratic reciprocity fr:Loi de réciprocité quadratique hu:Kvadratikus reciprocitás tétele ja:平方剰余�相互法則 pl:Prawo wzajemności reszt kwadratowych sv:Kvadratiska reciprocitetssatsen
	so ergibt sich <math>left(frac{57}{127}right)=-1<math> und damit die Erkenntnis

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