Stichpunkte

Allgemein
	die nur positive ganzzahlige Exponenten hat und deren höchster Exponent 2 ist (die also aus Polynomen des Grades 2 aufgebaut ist)
	Unter einer Quadratischen Gleichung versteht man eine mathematische Gleichung mit einer Unbekannten (im Folgenden mit x bezeichnet)
	Ein Beispiel ist <math> -4 cdot x^2 + 12 cdot x + 30 = -10 <math> Eine übliche Darstellung (Normalform) bringt alle Terme (oder Glieder) der Gleichung auf eine Seite
	und dividiert durch den Koeffizienten des quadratischen Terms
	ordnet sie nach fallendem Exponenten
	Folgende Gleichung ist dann äquivalent zur Obigen: <math> x^2 - 3 cdot x - 10 = 0 <math> Man spricht vom quadratischen Glied (x²)
	vom linearen Glied (-3·x) und vom absoluten / konstanten Glied (-10)
	Die Normalform einer quadratischen Gleichung lautet <math> x^2 + p cdot x + q = 0 <math> mit reellen oder komplexen Zahlen p und q
	Dabei heißen x^2 quadratisches Glied
	"Verbergen") 1 Wurzeln (Lösungen) der quadratischen Gleichung 1.1 Lösungsformeln 1.2 Aussagen über die Wurzeln 2 Beispiele 3 Verallgemeinerung (abstrakte Algebra) 4 Weblinks [Bearbeiten]
	p · x lineares Glied und q absolutes Glied der Gleichung. Inhaltsverzeichnis showTocToggle("Anzeigen"
Wurzeln (Lösungen) der quadratischen Gleichung
	auch Lösungen genannt
	Nach dem Fundamentalsatz der Algebra besitzt jede quadratische Gleichung (mit reellen oder komplexen Koeffizienten) zwei Wurzeln
	wenn sie für x in die Gleichung eingesetzt werden
	Diese Lösungen
	erfüllen die Gleichung
	und nicht notwendigerweise reelle Zahlen
	Die Wurzeln sind im allgemeinen komplexe Zahlen
	Wenn man sich auf reelle Wurzeln beschränkt
	sind manche quadratischen Gleichungen somit nicht auflösbar
	Außerdem gibt es auch den Fall
	dass beide Wurzeln gleich sind; man spricht dann von einer doppelten Wurzel
	Sind die Koeffizienten reelle Zahlen
	dann sind entweder beide Wurzeln reell oder beide nicht reell. [Bearbeiten]
Lösungsformeln
	Zum Finden von Wurzeln einer quadratischen Gleichung kann man die Quadratische Ergänzung benutzen
	sie wird im Artikel Quadratische Ergänzung hergeleitet
	Daneben ist die pq-Formel verbreitet (auch kleine Lösungsformel genannt)
	Wenn die Gleichung in Normalform als <math> x^2 + p cdot x + q = 0 <math> geschrieben ist
	dann sind die Wurzeln durch <math> x_1 = - frac{p}{2} + sqrt{ frac{p^2}{4} - q } <math> und <math> x_2 = - frac{p}{2} - sqrt{ frac{p^2}{4} - q } <math> gegeben
	da man sie auch noch parat haben sollte
	2} = - frac{p}{2}pmsqrt{ frac{p^2}{4} - q } <math> Im obigen Beispiel <math> x^2 - 3 cdot x - 10 = 0 <math> sind <math> x_1 = - (-3/2) + sqrt{ (3^2/4) + 10 } = 5 <math> und <math> x_2 = - (-3/2) - sqrt{ (3^2/4) + 10 } = -2 <math> Mit diesen Wurzeln kann man die quadratische Gleichung auch faktorisieren: <math> x^2 - 3 cdot x - 10 = ( x - 5 ) cdot ( x + 2 ) <math> Eine allgemeine quadratische Gleichung <math> ax^2+bx+c=0
	2}=frac{-bpmsqrt{b^2-4ac}}{2a}. <math> (Große Lösungsformel
	quad aneq 0<math> hat die Lösungen <math> x_{1
	auch abc-Formel genannt
	Allgemein: <math> x^2 + p cdot x + q = 0 <math> <math> Leftrightarrow x_{1
	unter Schülern auch als "Mitternachtsformel" bekannt
	wenn man um Mitternacht plötzlich geweckt wird.) Der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen (die Diskriminante <math>D=b^2-4ac<math>) bestimmt für eine Gleichung mit reellen Koeffizienten
	wie viele reellwertige Lösungen die Gleichung hat
	Wenn D > 0
	D < 0
	dann gibt es keine reelle Lösung. [Bearbeiten]
	D = 0
	dann gibt es 1 reelle Doppellösung
	dann gibt es 2 reelle Lösungen
Aussagen über die Wurzeln
	Es wird eine quadratische Gleichung <math>x^2 + px + q = 0<math> mit zwei reellen Wurzeln <math>x_1<math> und <math>x_2<math> betrachtet. Satzgruppe von Vietá <math>q = x_1x_2<math> <math>p = -left(x_1+x_2right)<math> <math>x^2 + px + q = (x-x_1)(x-x_2)<math> Genau dann
	sind beide Wurzeln ungleich Null und haben gleiches Vorzeichen
	wenn <math>q > 0<math>
	Es gilt dann: Ist <math>p<math> negativ
	so sind beide Wurzeln negativ. Genau dann
	so sind beide Wurzeln positiv; ist <math>p<math> positiv
	wenn <math>q = 0<math>
	ist mindestens eine der beiden Wurzeln gleich Null
	Genau dann
	wenn &lt;math&gt;q < 0&lt;math&gt;
	sind beide Wurzeln ungleich Null und haben unterschiedliches Vorzeichen
	sind die beiden Wurzeln betragsmäßig gleich groß
	Genau dann
	wenn &lt;math&gt;p = 0&lt;math&gt;
	Genau dann
	wenn &lt;math&gt;p < 0&lt;math&gt;
	ist die betragsmäßig größere Wurzel positiv
	Genau dann
	ist die betragsmäßig größere Wurzel negativ
	wenn &lt;math&gt;p > 0&lt;math&gt;
	wenn &lt;math&gt;q&lt;math&gt; sich als Produkt zweier ganzzahliger Faktoren darstellen lässt
	Die Wurzeln sind genau dann ganzzahlig
	deren Summe &lt;math&gt;p&lt;math&gt; ergibt. [Bearbeiten]
Beispiele
	x² + 12·x + 20 =0 Beide Wurzeln sind negativ: -2 und -10 x² - 12·x + 35 =0 Beide Wurzeln sind positiv: +7 und +5 x² + 12·x + 37 =0 Es gibt keine reellen Wurzeln
	also kleiner als 37. x² + 2·x - 35 =0 Die Wurzeln haben unterschiedliches Vorzeichen: -7 und +5 [Bearbeiten]
	weil das Quadrat der Hälfte von 12 36 ist
Verallgemeinerung (abstrakte Algebra)
	q eines Körpers oder Rings eine quadratische Gleichung
	Allgemein nennt man eine Gleichung der Form x² + p·x + q = 0 mit Elementen p
	In einem Körper und bestimmten Ringen (faktorielle Ringe) hat sie höchstens zwei Lösungen
	in beliebigen Ringen kann sie mehr als zwei haben
	falls die Charakteristik des Ringes/Körpers ungleich 2 ist
	Falls Lösungen in dem betrachteten Ring oder Körper existieren
	dann erhält man sie ebenfalls mit der pq-Formel
	Hierbei sind allerdings alle möglichen Quadratwurzeln der Diskriminante zu berücksichtigen
	3
	7. [Bearbeiten]
	Z.B. hat die quadratische Gleichung x² - 1 = 0 im Restklassenring Z/8Z die vier Lösungen 1
	5
Weblinks
	Radikand und Lösungsmenge http://www.arndt-bruenner.de/mathe/9/quadratischegleichungen.htm Übungen zu quadratischen Gleichungen mit Korrektur (Javascript) da:Andengradsligning en:Quadratic equation es:Ecuación de segundo grado it:Equazione quadratica ja:二次方程� pl:Równanie kwadratowe zh:一元二次方程
	http://www.bennoehr.com/qua-glei.htm Javascript zur Lösung einer quadratischen Gleichung mit Ausgabe von Normalform

Dieser Artikel basiert auf dem Artikel Quadratische Gleichung aus der freien Enzyklopädie wikipedia und steht unter der GNU Lizenz für freie Dokumentation. In der wikipedia ist eine Liste der Autoren verfügbar.