Stichpunkte

Allgemein
	Eine Quadratische Funktion ist ein Polynom der elementaren Algebra vom Grad 2
	also von der Form <math>x mapsto a x^2 + b x + c<math> mit der Funktionsgleichung <math>y = a x^2 + b x + c<math>
	Der Graph einer Quadratischen Funktion ist eine Parabel. Inhaltsverzeichnis showTocToggle("Anzeigen"
	"Verbergen") 1 Die Quadratfunktion 2 Die allgemeinen Quadratischen Funktionen 2.1 Scheitelbestimmung 2.2 Nullstellen der Quadratischen Funktion 3 Quadratische Funktion als Kegelschnitt 4 Brennpunkt einer quadratischen Funktion [Bearbeiten]
Die Quadratfunktion
	Normalparabel Die einfachste Quadratische Funktion ist die Quadratfunktion <math>x mapsto x^2<math>
	Definitionsbereich: D = R
	Wertebereich: W = R 0+</sub> Der Graph der Quadratischen Funktion heißt (quadratische) Normalparabel
	Er hat im Koordinatenursprung (0|0) seinen Scheitel und ist symmetrisch zur y-Achse
	An der Stelle x=0 nimmt die Quadratfunktion einen Extremwert an und hat dort ihre stärkste Krümmung. [Bearbeiten]
Die allgemeinen Quadratischen Funktionen
	Die Zuordnungsvorschrift der allgemeinen quadratische Funktion ist <math>x mapsto a x^2 + b x + c<math>
	b und c bestimmen teilweise direkt den Wertebereich und die Form des Graphen einer quadratischen Funktion
	Definitionsbereich: D = R Die Koeffizienten a
	Ist a = 1
	b = 0 und c = 0 so erhält man wieder die Quadratfunktion
	wenn b = 0 und c = 0 ist
	Parameter a Wie der Wert von a die Form des Graphen verändert kann man am besten erkennen
	d.h. in die Länge gezogen
	wodurch er schmaler erscheint. |a| < 1 ... der Graph ist gestaucht
	wodurch er breiter erscheint
	Man erhält dann eine Normalparabel mit einem Faktor vor dem x2. a > 0 ... der Graph ist nach oben geöffnet. a < 0 ... der Graph ist nach unten geöffnet. |a| > 1 ... der Graph ist gestreckt
	d.h. in zusammengedrückt
	Für a = –1 ist der Graph im Vergleich zur Normalparabel einfach an der x-Achse gespiegelt. Parameter b Der Wert des Parameters b hat vor allem Auswirkungen auf die seitliche Verschiebung des Graphen
	Allerdings bewirkt f(x) = x2 + 1·x und f(x) = x2 + 2·x gleichzeitig auch eine Verschiebung nach unten
	Eine Verschiebung des Graphen um eine Einheit nach rechts (im Vergleich zur Normalparabel) ergibt sich dagegen bei f(x) = (x-1)2 = x2 - 2*x +1
	Parameter c Eine Veränderung des Parameters c bewirkt Verschiebung in y-Richtung
	Wird c um 1 erhöht
	wird der Graph um eine Einheit nach oben verschoben
	wird der Graph dagegen um eine Einheit nach unten verschoben. [Bearbeiten]
	Wird c um 1 verringert
Scheitelbestimmung
	Da der Scheitel maßgeblich für die Lage der Parabel ist und immer ein Minimum oder Maximum (hängt von a ab) des Funktionswertes ist
	stellt die rechnerische Bestimmung der Scheitelkoordinaten eine der wichtigsten Aufgaben dar
	wenn der Funktionsterm in Scheitelform umgeformt wird: <math>f(x) = a cdot left( x-x_s right)^2 + y_s<math> Der Scheitel hat dann die Koordinaten S(xs|ys)
	Die Koordinaten des Scheitels lassen sich direkt auslesen
	Der Graph ist achsensymmetrisch zu einer Parallelen zur y-Achse durch xs
	um den Term zu vereinfachen. <math>y = 2 cdot left( x + 1 right) ^2 + 3<math> 3 ) ablesen Es gibt jedoch noch eine einfachere bzw. schnellere Möglichkeit den Scheitel zu ermitteln <math> S = (-frac{b}{2 cdot a} | c-frac{b^2}{4 cdot a})<math> Beispiel: f(x) = 2 x 2 + 4x + 5 <math>S (-frac{4}{4}|5-frac{16}{8})<math> Daraus folgt in gekürzter Form: S(-1|3) [Bearbeiten]
	Beispiel: Bestimmung des Scheitels aus der Gleichung einer allgemeinen quadratischen Funktion f(x) = 2 x 2 + 4x + 5 <math>y = 2 cdot x^2 + 4 cdot x + 5 <math> Die ursprüngliche Funktionsgleichung. <math>y = 2 cdot left( x^2 + 2 cdot x right) + 5<math> Der Faktor a vor dem x 2 wurde ausgeklammert
	wobei der Summand +5 ausgeschlossen bleibt. <math>y = 2 cdot left( x^2 + 2 cdot x + 1 - 1 right) + 5<math> Es wird eine quadratische Ergänzung zu x 2 + 2x durchgeführt <math>y = 2 cdot left( left( x + 1 right) ^2 - 1 right) + 5<math> Durch die quadratische Ergänzung ist es leicht möglich aus einem Teil des Terms ein Quadrat heraus zu ziehen. <math>y = 2 cdot left( x + 1 right) ^2 - 2 + 5<math> Nun wurde noch die Klammer mit dem Faktor 2 wieder aufgelöst
Nullstellen der Quadratischen Funktion
	Die Nullstellen einer Quadratischen Funktion ergeben sich aus der Lösungsmenge der quadratischen Gleichung 2x2 + 4x + 5 = 0. [Bearbeiten]
Quadratische Funktion als Kegelschnitt
	Jede quadratische Funktion (Parabel) lässt sich geometrisch als Schnitt einer Ebene mit einem Kegel darstellen
	Genaueres dazu unter Kegelschnitt. [Bearbeiten]
Brennpunkt einer quadratischen Funktion
	Eine Besonderheit bei quadratischen Funktionen ist das Vorhandensein eines Brennpunktes im Inneren
	um mit Sonnenenergie und einem parabolischen Spiegel möglichst hohe Temperaturen zu erzeugen
	Dies kann praktisch genutzt werden
	Genaueres unter Parabel und Parabolspiegel.

Dieser Artikel basiert auf dem Artikel Quadratische Funktion aus der freien Enzyklopädie wikipedia und steht unter der GNU Lizenz für freie Dokumentation. In der wikipedia ist eine Liste der Autoren verfügbar.