Stichpunkte

Allgemein
	Für jede Primzahl p bilden die p-adischen Zahlen einen Erweiterungskörper Qp der rationalen Zahlen
	der 1897 erstmals von Kurt Hensel beschrieben wurde
	um Probleme in der Zahlentheorie zu lösen
	Diese Körper wurden und werden benutzt
	dass eine Gleichung genau dann über den rationalen Zahlen Q gelöst werden kann
	welches vereinfacht gesprochen aussagt
	für die genaue Bedeutung siehe dort)
	oftmals unter Verwendung des lokal-global-Prinzips von Helmut Hasse
	wenn sie über den reellen Zahlen R und allen Qp gelöst werden kann (was aber nicht so allgemein zutrifft
	Als metrischer Raum ist Qp vollständig
	und erlaubt so die Entwicklung einer p-adischen Analysis analog zur reellen Analysis. Inhaltsverzeichnis showTocToggle("Anzeigen"
	"Verbergen") 1 Motivation 2 Konstruktion 2.1 Analytische Konstruktion 2.1.1 p-adischer Betrag 2.1.2 p-adische Metrik 2.2 Algebraische Konstruktion 3 Eigenschaften [Bearbeiten]
Motivation
	p-1}<math> sind
	...
	siehe auch Stellenwertsystem) der Form <math>pmsum_{i=0}^n a_i p^i<math> (1) wobei die <math>a_i<math> Zahlen aus <math>{0
	dann kann jede ganze Zahl geschrieben werden in einer p-adischen Entwicklung (man sagt
	Ist p eine fest gewählte Primzahl
	die Zahl wird "zur Basis p geschrieben"
	1
	Zum Beispiel ist die 2-adische Entwicklung gerade die Binärdarstellung
	und 35 hat die Darstellung <math>1*2^5 + 0*2^4 + 0*2^3 + 0*2^2 + 1*2^1 + 1*2^0<math>
	die oft mit 1000112 abgekürzt wird
	Die bekannte Verallgemeinerung dieser Beschreibung auf größere Zahlmengen (rationale und reelle) ist die Zulassung unendlicher Summen dieser Form: <math>pmsum_{i=-infty}^n a_i p^i<math> (2) Diese Reihen sind konvergente Partialsummenfolgen bezüglich des gewöhnlichen Absolutbetrags
	Man kann dann zum Beispiel 1/3 zur Basis 5 darstellen als Grenzwert der Reihe 0
	13131313...5
	In diesem System sind die ganzen Zahlen genau diejenigen
	für die <math>a_i=0<math> ist für alle <math>i
Konstruktion
	[Bearbeiten]
Analytische Konstruktion
	Die reellen Zahlen können konstruiert werden als Vervollständigung der rationalen Zahlen
	Sie werden dabei aufgefasst als Äquivalenzklassen von rationalen Cauchy-Folgen
	000... = 0
	Dies erlaubt uns zum Beispiel
	999... in R
	000... zu schreiben
	die Zahl 1 als 1
	999... - es ist 1
	oder als 0
	die vom Absolutbetrag erzeugt wird
	und indem man statt der üblichen euklidischen Metrik
	Jedoch hängt bereits die Definition einer Cauchy-Folge von der verwendeten Metrik ab
	erhält man andere Vervollständigungen anstelle der reellen Zahlen. [Bearbeiten]
	eine andere Metrik benutzt
p-adischer Betrag
	b
	Für eine fest vorgegebene Primzahl p definieren wir den p-adischen Betrag auf Q: Jede rationale Zahl x außer 0 lässt sich schreiben als <math>x=p^n(a/b)<math> mit einer ganzen Zahl n und zwei ganzen Zahlen a
	die beide nicht durch p teilbar sind
	Wir setzen dann <math>|x|_p:=p^{-n}<math> und <math>|0|_p:=0<math>
	Dies ist ein nichtarchimedischer Betrag
	|x|_{11}=11<math> <math>|x|_p=1<math> für jede andere Primzahl p Durch diese Definition des Betrags <math>|x|_p<math> werden große Potenzen von p "betragsmäßig klein". [Bearbeiten]
	Zum Beispiel ist x=63/550=<math>2^{-1}*3^2*5^{-2}*7*11^{-1}<math>
	damit ist <math>|x|_2=2
	|x|_5=25
	|x|_3=1/9
	|x|_7=1/7
p-adische Metrik
	denn für jedes n ist <math>d_5(1/2^n
	^1/_2
	aber keine Cauchy-Folge ist
	5
	1/2^{n+1})=|1/2^{n+1}|_5 = 1<math> Die Vervollständigung des metrischen Raums (Q
	Die p-adische Metrik <math>d_p<math> auf Q definiert man nun so: <math>d_p(x
	wobei zwei Cauchy-Folgen äquivalent heißen
	...)<math> beschränkt
	dp) ist der metrische Raum Qp der p-adischen Zahlen
	wenn die Folge ihrer punktweisen p-adischen Abstände eine Nullfolge ist
	5^2
	...)<math> in Q bezüglich der 5-adischen Metrik eine Nullfolge
	5^4
	^1/_4
	y)=|x-y|_p<math> Damit ist beispielsweise die Folge <math>(1
	er besteht aus Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen
	5^3
	wohingegen die Folge <math>(1
	^1/_8
	in dem Q enthalten ist
	Auf diese Weise erhalten wir einen vollständigen metrischen Raum
	der (durch die wohldefinierten komponentenweisen Verknüpfungen der Cauchy-Folgen-äquivalenzklassen) außerdem ein Körper ist
	Da die so definierte Metrik eine Ultrametrik ist
	wenn die Summanden eine Nullfolge bilden
	konvergieren Reihen bereits dann
	p-1}<math> liegen
	In diesem Körper sind also die oben erwähnten Reihen der Form <math>sum_{i=k}^infty a_i p^i<math> (3) sofort als konvergent zu erkennen
	falls k eine ganze Zahl ist und die <math>a_i<math> in <math>{0
	1
	...
	dass sich jedes Element von Qp als Grenzwert genau einer solchen Reihe darstellen lässt. [Bearbeiten]
	Man kann zeigen
Algebraische Konstruktion
	Hier wird zuerst der Ring der p-adischen ganzen Zahlen definiert
	und danach dessen Quotientenkörper Qp
	wobei gilt: <math>1le n
	Wir definieren Zp als projektiven Limes der Ringe Z/pnZ (siehe Kongruenz (Zahlentheorie)): Eine p-adische ganze Zahl ist dann eine Folge <math>(a_n)<math> von Restklassen <math>a_n<math> aus Z/pnZ
Eigenschaften
	Die Menge Qp der p-adischen Zahlen ist überabzählbar
	Die p-adischen Zahlen enthalten Q und bilden einen Körper der Charakteristik 0
	Dieser Körper kann nicht angeordnet werden
	Der topologische Raum Zp der p-adischen ganzen Zahlen ist kompakt
	der Raum aller p-adischen Zahlen ist lokal kompakt
	Als metrische Räume sind beide vollständig
	bereits die Adjunktion einer Quadratwurzel ist algebraisch abgeschlossen
	die komplexen Zahlen
	Die reellen Zahlen haben nur eine einzige echte algebraische Erweiterung
	Im Gegensatz dazu hat der algebraische Abschluss von Qp einen unendlichen Erweiterungsgrad
	Qp hat also unendlich viele inäquivalente algebraische Erweiterungen
	der bezüglich seiner Analysis etwa den komplexen Zahlen entspricht
	Der algebraische Abschluss von Qp ist nicht vollständig und kann vervollständigt werden zum Körper Cp
	Die übliche Definition der e-Funktion <math>exp(x) := sum_{n=0}^infty frac{x^n}{n!}<math> konvergiert für alle x mit <math>|x|_p2<math>
	in Q2 liegt <math>exp(4)<math>
	Es gibt algebraische Erweiterungen von Qp
	in denen die p-te Wurzel von <math>exp(p)<math> bzw. die vierte Wurzel von <math>exp(4)<math> liegt; diese Wurzeln könnte man als p-adische Entsprechungen der Eulerschen Zahl auffassen
	}718...<math> wenig zu tun. Funktionen von R nach R mit Ableitung 0 sind konstant
	Diese Zahlen haben aber mit der reellen Eulerschen Zahl <math>e = 2{
	Für Funktionen von Qp nach Qp gilt dieser Satz nicht
	f(x) = (1/|x|p)2 für x≠0
	auf ganz Qp die Ableitung 0
	f(0) = 0
	ist aber nicht einmal lokal konstant in 0
	zum Beispiel hat die Funktion f: Qp → Qp
	Dabei ist die Ableitung analog zum reellen Fall über den Grenzwert der Differenzenquotienten definiert
	Q_7
	Q_3
	und die Ableitung in 0 ist <math>lim_{hto 0}left|frac{(1/|h|_p)^2}{h}right|_p = lim_{hto 0}|h|_p = 0<math>. Sind <math>r_infty
	...<math> Elemente von <math>Q_infty (:=R)
	dann gibt es eine Folge <math>(x_n)<math> in Q
	Q_5
	r_5
	so dass für alle p (einschließlich <math>infty<math>) der Grenzwert der <math>x_n<math> in Qp <math>r_p<math> ist. (Diese Aussage wird manchmal Näherungssatz genannt.) en:P-adic number es:Número p-ádico fr:Nombre p-adique ja:P進数 tr:P-sel Sayılar
	...<math>
	r_2
	Q_2
	r_7
	r_3

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