Stichpunkte

Allgemein
	Für eine Primzahl p ist eine p-Gruppe in der Gruppentheorie eine Gruppe
	in der die Ordnung jedes Elements eine Potenz von p ist
	Das heißt
	so dass g hoch pn gleich dem neutralen Element der Gruppe ist. [Bearbeiten]
	für jedes Element g der Gruppe gibt es eine natürliche Zahl n
Beispiele
	Sei p stets eine Primzahl
	da sie Elemente der Ordnung 6 enthält
	und 6 ist keine Primzahlpotenz
	Beispiele endlicher p-Gruppen: Die zyklische Gruppe Cp ist eine abelsche p-Gruppe. Das direkte Produkt Cp × Cp ist eine abelsche p-Gruppe (nicht isomorph zu Cp²). Die Diedergruppe D8 ist eine nichtabelsche 2-Gruppe. Keine p-Gruppe ist z.B. die zyklische Gruppe C6
	und diese Ordnungen nicht Potenzen derselben Primzahl sind
	da sie Elemente der Ordnung 2 und Elemente der Ordnung 3 enthält
	Ebenso ist die symmetrische Gruppe S3 keine p-Gruppe
	Eine unendliche p-Gruppe bildet folgendes Beispiel: Betrachte die Menge aller rationaler Zahlen der Form m/pn mit natürlichen Zahlen m und n
	dann erhalten wir eine Gruppe G
	Addieren wir diese Zahlen modulo 1
	Diese ist eine unendliche abelsche p-Gruppe
	heißt p∞-Gruppe
	die zu G isomorph ist
	Jede Gruppe
	Gruppen dieses Typs sind wichtig bei der Klassifikation unendlicher abelscher Gruppen
	deren Ordnung eine p-Potenz ist. [Bearbeiten]
	Die p∞-Gruppe kann auch beschrieben werden als die multiplikative Gruppe derjenigen komplexen Einheitswurzeln
Eigenschaften
	p-Gruppen sind spezielle Torsionsgruppen (dies sind Gruppen
	in denen jedes Element endliche Ordnung hat). [Bearbeiten]
Endliche p-Gruppen
	Ist G eine endliche Gruppe
	wenn ihre Ordnung (die Anzahl ihrer Elemente) selbst eine p-Potenz ist
	dann ist sie genau dann eine p-Gruppe
	Das Zentrum einer endlichen p-Gruppe besteht nicht nur aus dem neutralen Element
	Das zeigt man mit der Bahnenformel für die Konjugation
	Im Spezialfall einer Gruppe der Ordnung p2 kann man sogar noch mehr sagen: In diesem Fall ist die Gruppe abelsch
	wenn sie die triviale (einelementige) Gruppe {e} ist
	Man zeigt das
	dass die Faktorgruppe G/Z(G) der Gruppe modulo dem Zentrum nur dann eine zyklische Gruppe ist
	indem man allgemeiner beweist
	z.B. sind die zyklische Gruppe C4 und die Kleinsche Vierergruppe beides 2-Gruppen der Ordnung 4
	Jede endliche p-Gruppe ist nilpotent und auflösbar. p-Gruppen derselben Ordnung müssen nicht isomorph sein
	aber nicht zueinander isomorph
	z.B. ist die Diedergruppe D8 eine nichtabelsche 2-Gruppe
	Eine p-Gruppe muss auch nicht abelsch sein
	die p-Gruppe ist
	Jede nichttriviale endliche Gruppe enthält eine Untergruppe
	Details dazu sind im Artikel Sylow-Sätze beschrieben
	In einem bestimmten Sinne sind fast alle endlichen Gruppen p-Gruppen
	eine 2-Gruppe zu wählen
	dann konvergiert die Wahrscheinlichkeit
	wenn n gegen unendlich geht
	gegen 1
	sie sind sogar fast alle 2-Gruppen: Fixiert man eine natürliche Zahl n und wählt dann gleichverteilt aus der Liste aller Isomorphieklassen von Gruppen der Ordnung kleinergleich n
	bei über 99%. en:P-group
	Zum Beispiel liegt die Wahrscheinlichkeit
	unter allen Gruppen der Ordnung kleinergleich 2000 eine 2-Gruppe der Ordnung 1024 zu ziehen

Dieser Artikel basiert auf dem Artikel P-Gruppe aus der freien Enzyklopädie wikipedia und steht unter der GNU Lizenz für freie Dokumentation. In der wikipedia ist eine Liste der Autoren verfügbar.