Stichpunkte

Allgemein
	Die Navier-Stokes-Gleichungen beschreiben in der Strömungsmechanik bzw. der Strömungslehre das Verhalten von Strömungen in Flüssigkeiten und Gasgemischen (Fluiden)
	Sie sind ein System von nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen 2
	Ordnung. Die Gleichungen sind benannt nach dem Franzosen Claude Louis Marie Henri Navier und dem Briten George Gabriel Stokes
	Beide hatten unabhängig voneinander in der ersten Hälfte des 19
	Jahrhunderts (1827 bzw
	also die Abhängigkeit von Geschwindigkeit und Druck als Funktion von Ort und Zeit. In Vektorschreibweise werden sie zusammengefasst zu der Gleichung: <math> rho left({ partialmathbf{u} over partial t } + (mathbf{u} cdot nabla) mathbf{u} right) = rhomathbf{f} -nabla p + eta Delta mathbf{u} + (lambda + eta) nabla (nabla cdot mathbf{u}) <math>
	wie Wasser
	Bier oder Luft in differentieller Form gefunden
	1845) den Impulssatz für Newtonsche Fluide
	v
	w)<math> und Druck <math>p(x
	t)=(u
	In Verbindung mit der Kontinuitätsgleichung (Erhaltungssatz der Masse) <math> { partialmathbf{rho} over partial t } + nabla cdot (mathbf{rho u}) = 0 <math> ergibt sich bei konstanter Dichte ein partielles Differentialgleichungssystem mit vier Gleichungen für die vier Größen Geschwindigkeit <math>mathbf{u}(x
	t)<math>
	Hierbei werden die Stoffkonstanten <math>lambda<math> und <math>eta <math> als bekannt und konstant im Strömungsfeld vorausgesetzt
	Der Vektor <math>mathbf{f}<math> beschreibt äußere Kräfte wie beispielsweise die Gravitation
	Es ist bis heute nicht gelungen
	die Existenz von globalen Lösungen nachzuweisen
	Dieses Problem gehört laut Clay Mathematics Institute zu den wichtigsten ungelösten mathematischen Problemen dieses Jahrhunderts
	In der Praxis gewinnt man analytische Lösungen
	indem man die physikalischen Modelle/Randbedingungen vereinfacht (Spezialfälle)
	Besondere Schwierigkeit bereitet hier die Nichtlinearität der konvektiven Beschleunigung <math> mathbf{u} cdot nabla mathbf{u} <math>
	Geschlossene analytische Lösungen existieren fast nur für Fälle
	in denen dieser Term verschwindet
	Allgemeine Lösungen findet man mit numerischen Näherungsverfahren der CFD (Computational Fluid Dynamics). [Bearbeiten]
Die kompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen
	Die oben beschriebenen Gleichungen sind eigentlich nur ein Spezialfall der kompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen
	Diese gelten für ein allgemeines ideales Gas
	und der Energieerhaltung <math> partial_{hat{t}} hat{rho} hat{E} + nabla_{hat{x}} cdot (hat{H} hat{{textbf m}}) = sum_{j=1}^{3} partial_{hat{x}_{j}} left ( sum_{i=1}^{3} hat{S}_{ij} hat{v}_{i} - hat{W}_{j} right) + hat{q} - hat{rho} hat{{textbf u}} cdot hat{{textbf g}}
	2
	qquad i
	2
	<math> wobei <math>hat{H} = hat{E} + frac{hat{p}}{hat{rho}}<math> die Enthalpie ist und <math>hat{W}_{j}<math> der Hitzefluss ist
	Sie bestehen aus den Gleichungen der Massenerhaltung <math> partial_{hat{t}} hat{rho} + nabla_{hat{x}} cdot hat{{textbf m}} = 0
	3 <math> den viskosen Stress-Tensor beschreibt
	qquad i=1
	j=1
	3 <math> wobei <math>delta_{ij}<math> das Kroneckersymbol ist
	wobei <math>hat{mu}<math> die dynamische Viskosität und <math>hat{g}_{i}<math> die i'te Komponente des Gravitationsvektors ist
	der mittels des thermalen Wärmeleitkoeffizienten <math>hat{kappa}<math> als <math>hat{W}_{j} = -hat{kappa} partial_{hat{x}_{j}} hat{T}<math> geschrieben werden kann
	<math>hat{S}_{ij} = hat{mu} [(partial_{hat{x}_{j}} hat{v}_{i} + partial_{hat{x}_{i}} hat{v}_{j}) - frac{2}{3} delta_{ij} sum_{k=1}^{3} partial_{hat{x}_{k}} hat{v}_{k}]
	<math> der Impulserhaltung <math> partial_{hat{t}} hat{m_{i}} + sum_{j=1}^{2} partial_{hat{x}_{j}} (hat{m_{i}} hat{v_{j}} + hat{p} delta_{ij}) = sum_{j=1}^{3} partial_{hat{x}_{j}} hat{S}_{ij} + hat{rho} hat{g}_{i}
	Druck und Temperatur sind durch das ideale Gasgesetz verbunden: <math>hat{T} = frac{hat{p}}{hat{rho} hat{R}}.<math> Schließlich hängen der adiabatische Exponent <math>gamma<math> und die Gaskonstante <math>hat{R}<math> durch den spezifischen Wärmekoeffizienten für konstanten Druck <math>hat{c}_{p}<math> respektive konstantes Volumen <math>hat{c}_{p}<math> durch <math>gamma = frac{hat{c}_{p}}{hat{c}_{v}}<math> und <math>hat{R} = hat{c}_{p}-hat{c}_{v}<math> zusammen
	Die totale Energie pro Einheitsmasse <math>hat{E}<math> ist die Summe von innerer
	kinetischer und potentieller Energie: <math>hat{E}=hat{e} + frac{1}{2} |hat{{textbf u}}^{2}| + hat{h} |hat{{textbf g}}|.<math> Wir haben also vier Gleichungen für fünf Variablen und das System wird durch die Zustandsgleichung abgeschlossen: <math> hat{p} = (gamma -1) hat{rho} (hat{E} - frac{1}{2} |hat{{textbf u}}|^{2} - hat{h} |hat{{textbf g}}|). <math> Die thermodynmischen Größen Dichte
	Unter der Annahme
	dass die Dichte entlang Teilchenbahnen konstant ist
	erhält man die Gleichungen für inkompressible Fluide zurück
	Die Dächer auf den Variablen sollen darauf hinweisen
	dass es sich um dimensionsbehaftete Größen handelt
	Eine Entdimensionalisierung liefert diverse dimensionslose Kennzahlen. [Bearbeiten]
Literatur
	Alexander J
	Jerold E
	Chorin
	Volume 2 Compressible Models
	Oxford Science Publications Pierre-Louis Lions
	Volume 1 Incompressible Models
	A Mathematical Introduction to Fluid Mechanics
	Mathematical Topics in Fluid Mechanics
	Mathematical Topics in Fluid Mechanics
	Oxford Science Publications en:Navier-Stokes equations es:Ecuaciones de Navier-Stokes fr:Équations de Navier-Stokes it:Equazioni di Navier-Stokes ja:ナビエ-ストークスã?®å¼? pt:Equações de Navier Stokes sl:Navier-Stokesove enaÄ?be
	Marsden
	1996
	Springer Verlag Pierre-Louis Lions
	Third Edition 1998
	1998

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