Stichpunkte

Allgemein
	Die vier maxwellschen Gleichungen beschreiben die elektromagnetischen Felder und ihre zeitliche Abhängigkeit vollständig in sowohl differenzieller als auch integraler Form
	"Verbergen") 1 Die maxwellschen Gleichungen 1.1 Übersicht 2 Erläuterungen 2.1 Skalare Felder 2.2 Vektorfelder 2.3 Zusammenhänge 3 Kovariante Formulierung der Maxwellgleichungen 4 Maxwell Gleichungen bei Berücksichtigung von magnetischen Monopolen 5 Sonstiges 6 Siehe auch [Bearbeiten]
	Sie wurden in den Jahren 1861 bis 1864 von James Clerk Maxwell entwickelt. Inhaltsverzeichnis showTocToggle("Anzeigen"
Die maxwellschen Gleichungen
	Die Quellen elektromagnetischer Felder sind elektrische Ladungen und Ströme
	Aus ihnen resultieren zeitabhängige elektrische und magnetische Felder
	die Wechselwirkungen und die zeitliche Abhängigkeit dieser Felder
	die Wirkung
	Die maxwellschen Gleichungen beschreiben somit die Ursache
	Sie sind die Grundlage der Elektrodynamik und der Theoretischen Elektrotechnik. [Bearbeiten]
Ãœbersicht
	Um die folgenden Gleichungen verstehen zu können
	benötigt man Grundkenntnisse der Vektoranalysis
	eine differenzielle und eine Integralform
	Es gibt zwei verbreitete Formulierungen der maxwellschen Gleichungen
	siehe kovariante Form unten. Maxwellsche Gleichungen in SI-Einheiten differenzielle Form verknüpfender Integralsatz Integralform Das <math>vec D<math>-Feld ist ein Quellenfeld
	die z.B. in der Quantenelektrodynamik verwendet wird
	Mit dem Satz von Stokes und dem Satz von Gauß lässt sich die Äquivalenz beider Formulierungen zeigen. (Salopp formuliert handelt es sich um Bilanzen im Kleinen bzw. im Grossen) Daneben gibt es eine elegantere vierdimensionale Formulierung
	Die Ladung (Ladungsdichte) ist Quelle des elektrischen Feldes
	Gauß Der (elektrische) Fluss durch den Rand eines Volumens ist gleich der elektrischen Ladung in seinem Inneren. <math>mbox{div}vec D=rho<math> <math>Leftrightarrow<math> <math>iint_A!!!!!!!!!!!!!!!;;subset!supset vec D;mathrm{d}vec A=iiint_Vrho;mathrm{d}V<math> Das <math>vec B<math>-Feld ist quellenfrei
	Es gibt keine magnetischen Monopole
	da es keine magnetischen Monopole gibt. <math>mbox{div}vec B=0<math> <math>Leftrightarrow<math> <math>iint_A!!!!!!!!!!!!!!!;;subset!supset vec B;mathrm{d}vec A=0<math> Induktionsgesetz: Jede Änderung des <math>vec B<math>-Feldes führt zu einem elektrischen Gegenfeld
	nämlich Null
	Gauß Der magnetische Fluß durch den Rand eines Volumens ist gleich der magnetischen Ladung in seinem Inneren
	Die Wirbel des elektrischen Feldes sind von der zeitlichen Änderung der magnetischen Induktion abhängig
	Stokes Die (elektrische) Zirkulation über dem Rand einer Fläche ist gleich der negativen zeitlichen Änderung des magnetischen Flusses durch die Fläche. <math>mbox{rot}vec E=-frac{partialvec B}{partial t}<math> <math>Leftarrow<math> <math>oint_cvec E;mathrm{d}vec s=-frac{mathrm{d}}{mathrm{d}t}iint_Avec B;mathrm{d}vec A<math> Verallgemeinertes Durchflutungsgesetz: Die Wirbel des Magnetfeldes hängen von der elektrischen Stromdichte und von der Verschiebungsstromdichte ab
	Stokes Die magnetische Zirkulation über dem Rand einer Fläche ist gleich dem Verschiebungsfluss plus der zeitlichen Änderung des elektrischen Flusses durch die Fläche. <math>mbox{rot}vec H=vec J+frac{partialvec D}{partial t}<math> <math>Leftarrow<math> <math>oint_cvec H;mathrm{d}vec s=iint_Avec J;mathrm{d}vec A+frac{mathrm{d}}{mathrm{d} t}iint_Avec D;mathrm{d}vec A<math> Man beachte die Position der zeitlichen Ableitungen vor den Integralen im Induktionsgesetz und im Durchflutungsgesetz. [Bearbeiten]
Erläuterungen
	[Bearbeiten]
Skalare Felder
	Das Symbol Ï? steht für die Ladungsdichte ohne Berücksichtigung von Beiträgen
	die durch eine elektrische Polarisation eines evtl. vorhandenen Mediums entstehen. [Bearbeiten]
Vektorfelder
	wieviel Strom pro Fläche in welche Richtung fließt
	Die Stromdichte <math>vec J<math> gibt an
	elektrische Verschiebungsdichte oder elektrische Erregung
	die durch Paramagnetismus und Diamagnetismus in einem evtl. vorhandenen Medium induziert werden. <math>vec D<math> ist die elektrische Flussdichte
	Dabei sind Beiträge nicht berücksichtigt
	Hierbei handelt es sich um die elektrische Feldstärke <math>vec E<math> ohne Berücksichtigung von Beiträgen durch die Polarisation des Mediums
	identisch mit der elektrischen Feldstärke
	Im Vakuum ist die elektrische Flussdichte bis auf einen Faktor
	der nur durch das Einheitensystem bedingt ist
	Die magnetische Feldstärke oder magnetische Erregung <math>vec H<math> ist die magnetische Flussdichte oder Induktion <math>vec B<math> ohne Berücksichtigung von paramagnetischen und diamagnetischen Beiträgen durch das Medium
	Im Vakuum sind die magnetische Flussdichte und die magnetische Feldstärke wiederum bis auf einen Faktor identisch
	der nur durch das Einheitensystem bedingt ist
	der magnetischen Feldstärke und der magnetischen Flussdichte sowie der Stromdichte und der elektrischen Feldstärke werden durch die Materialgleichungen der Elektrodynamik beschrieben
	Die Beziehungen zwischen der elektrischen Flussdichte und der elektrischen Feldstärke
	Die elektrische Feldstärke und die magnetische Flussdichte sind die physikalischen Felder
	da der Beitrag des Mediums nicht von vornherein bekannt sein muss. [Bearbeiten]
	Bei Anwesenheit eines Mediums sind die elektrische Flussdichte und die magnetische Feldstärke Hilfsgrößen
	die die Berechnung der Felder vereinfachen
Zusammenhänge
	Diese Gleichungen vereinfachen sich in bestimmten Sonderfällen
	So entfallen im stationären Fall die zeitabhängigen Terme und im Vakuum ρ und <math>vec J<math>
	Man bezeichnet ρ auch als Quelle bzw
	ist das B-Feld quellenfrei
	Senke des elektrischen Feldes. Da es keine magnetischen Monopole gibt
	Alle B-Feldlinien sind geschlossen
	In statischen Feldern gibt es keine geschlossenen E-Feldlinien
	In ladungsfreien Feldern gibt es nur geschlossene E-Feldlinien
	Jede Änderung des B-Feldes führt zu einem elektrischen Wirbelfeld
	Die Wirbel des elektrischen Feldes hängen von der zeitlichen Änderung der magnetischen Induktion ab
	Jeder Änderung des D-Feldes führt zu einem magnetischen Wirbelfeld
	Die Wirbel des Magnetfeldes hängen vom elektrischen Strom und vom Verschiebungsstrom ab. [Bearbeiten]
Kovariante Formulierung der Maxwellgleichungen
	In diesem Absatz wird
	das SI-Einheitensystem verwendet
	wie im übrigen Artikel
	etwa Gauß-Einheiten oder Heaviside-Lorentz-Einheiten
	Dieses und die damit verbundenen Faktoren <math>mu_0<math>
	in denen die Grundgrößen der Elektrodynamik anders definiert werden
	<math>epsilon_0<math> etc. empfinden viele Theoretiker gerade bei der kovarianten Formulierung der Elektrodynamik als unnatürlich und verwenden andere Systeme
	In der Literatur können deshalb verglichen mit dieser Darstellung Vorfaktoren wegfallen
	hinzukommen oder an andere Stellen rücken. Die Elektrodynamik
	wie sie durch die Maxwellgleichungen beschrieben wird
	ist verträglich mit der speziellen Relativitätstheorie
	Dazu gehört
	ohne dass sich beim Wechsel des Bezugssystems ihre Form ändert
	dass die Maxwellgleichungen in jedem Inertialsystem gelten
	Dies spielte historisch für die Entwicklung der Relativitätstheorie durch Albert Einstein eine wichtige Rolle
	Technischer formuliert sind die Maxwellgleichungen relativistisch kovariant oder forminvariant
	dass sie ihre Gestalt unter Lorentz-Transformationen nicht ändern. Diese Eigenschaft ist den Maxwellgleichungen in der oben beschriebenen Form jedoch nicht ohne weiteres anzusehen
	das heißt
	durch eine Umformulierung der Theorie die Forminvarianz herauszuarbeiten
	Es kann deshalb nützlich sein
	anders ausgedrückt: die Theorie „manifest kovariant“ zu schreiben
	die ein klar definiertes
	Hierzu muss man die oben auftretenden Größen <math>vec{E}<math>
	Vierervektoren und Vierer-Tensoren höherer Stufen
	also durch Lorentz-Skalare
	<math>vec{B}<math> usw. durch Größen ausdrücken
	einfaches Transformationsverhalten unter Lorentz-Transformationen haben
	aus denen man die elektrischen und magnetischen Felder wie folgt erhält (siehe auch Elektrodynamik): <math>vec{E} = -vec{nabla} phi - partial_t vec{A}<math> <math>vec{B} = vec{nabla} times vec{A}<math> Diese Größen lassen sich zu einem Vierervektor
	dem Viererpotential <math> A^mu = left(frac{phi}{c}
	vec{A} right)^mu <math> zusammenfassen
	Ausgangspunkt für diese Umformulierung bilden die elektromagnetischen Potentiale <math>phi<math> (skalares Potential) und <math>vec{A}<math> (Vektorpotential)
	dass wegen der Antisymmetrie des Feldstärketensors auch die Kontinuitätsgleichung (Verschwinden der 4-er Divergenz) folgt: <math> c partial_t rho + mbox{div} vec{J} = mu_0 partial_{beta} j^{beta} = partial_{alpha} partial_{beta} F^{alphabeta} = - partial_{alpha} partial_{beta} F^{betaalpha} = - partial_{beta} partial_{alpha} F^{betaalpha} = 0 <math> Die beiden homogenen Maxwellgleichungen erhalten im Vakuum die manifest kovariante Form <math> partial_alpha F_{betagamma} + partial_beta F_{gammaalpha} + partial_gamma F_{alphabeta} = 0 <math> Dies wird auch häufig mit dem Levi-Civita-Symbol kompakter geschrieben als <math> varepsilon^{alphabetagammadelta} partial_alpha F_{gammadelta} = 0 <math> oder <math> partial_alpha mathcal{F}^{alphabeta} = 0 <math> mit dem dualen Feldstärketensor <math> mathcal{F}^{alphabeta} = frac{1}{2} varepsilon^{alphabetagammadelta} F_{gammadelta}
	gerade die der elektrischen und magnetischen Felder sind: <math> F^{alphabeta} = partial^alpha A^beta - partial^beta A^alpha = begin{pmatrix} 0 & -frac{E_x}{c} & -frac{E_y}{c} & -frac{E_z}{c} \ frac{E_x}{c} & 0 & -B_z & B_y \ frac{E_y}{c} & B_z & 0 & -B_x \ frac{E_z}{c} & -B_y & B_x & 0 \ end{pmatrix}^{alphabeta} <math> Mit diesen Größen geschrieben kann man die beiden inhomogenen Maxwellgleichungen im Vakuum durch folgende kovariante Gleichung ersetzen: <math> partial_{alpha} F^{alphabeta} = mu_0 j^{beta} <math> Dabei wird
	über doppelt auftretende Indizes in Produkten (hier <math>alpha<math>) wird summiert. Man beachte
	wie üblich
	<math> dessen Komponenten man auch aus denen von <math>F^{alphabeta}<math> erhalten kann
	das heißt
	dessen Komponenten bis auf Vorzeichen und konstante Vorfaktoren
	vec{J}) <math> Aus dem Vierpotential wird der elektrodynamische Feldstärketensor abgeleitet
	die Einsteinsche Summenkonvention benutzt
	Ebenso kann man aus Ladungsdichte <math>rho<math> und Stromdichte <math>vec{J}<math> die Viererstromdichte zusammensetzen: <math> j^mu = (c rho
	indem man <math>vec{E}/c<math> durch <math>vec{B}<math> und <math>vec{B}<math> durch <math>-vec{E}/c<math> ersetzt. [Bearbeiten]
	die vom Einheitensystem abhängen
Maxwell Gleichungen bei Berücksichtigung von magnetischen Monopolen
	Die Existenz von magnetischen Monopolen wird vom kosmologischen Urknall-Modell (genauer: von GUT-Theorien) vorhergesagt
	weshalb in den oben genannten Maxwell Gleichungen auch postuliert wird
	Dennoch wurde bisher noch nie ein magnetischer Monopol entdeckt
	dass keine magnetischen Monopole (magnetische Ladungen) existieren
	so lassen sich diese in den Maxwell Gleichungen problemlos berücksichtigen: Wenn mit <math>rho_m<math> die Monopolladungsdichte und mit <math>vec{J}_m=rho_m vec{v}_m<math> die Stromdichte
	Sollten in der Zukunft dennoch solche magnetischen Ladungen gefunden werden
	dann ändern sich nur zwei der vier oben genannten Gleichungen
	bezeichnet wird
	der sich mit <math>vec{v}_m<math> bewegenden magnetischen Monopolladungen
	die dann aber ohne weiteres mit den Integralsätzen von Gauß und Stokes berechnet werden können
	während sich aber natürlich für die beiden neuen Gleichungen auch neue integrale (d.h. globalen) Darstellungen ergeben
	In differentieller (lokaler) Form ergibt sich dann für diese Gleichungen: <math>mbox{div}vec{B}=rho_m<math> (Interpretation: Die Feldlinien der magnetischen Flussdichte beginnen und enden in einer magnetischen Ladung.) <math>mbox{rot}vec{E}=-left(frac{partial}{partial t}vec{B}+vec{J}_mright)<math> (Interpretation: Sich zeitlich ändernde magnetische Flussdichten oder das vorhanden sein von magnetischen Stromdichten führen zu elektrischen Wirbelfeldern.) Die anderen beiden differentiellen Gleichungen bleiben unverändert
	Der Fall der verschwindenden Monopole <math>rho_m=0<math> führt wieder auf die bekannten
	oben angegebenen Gleichungen zurück. [Bearbeiten]
Sonstiges
	deren Lösungen sich mit Lichtgeschwindigkeit fortpflanzen
	Im ladungsfreien Raum mit Ï? = 0 und <math>vec J<math> = 0 kann man aus diesen Gleichungen eine Wellengleichung ableiten
	Hierbei handelt es sich um die elektromagnetischen Wellen
	Maxwell erkannte damit die elektromagnetische Natur von Licht und fand die tiefere Ursache für den mathematischen Zusammenhang <math>c_0=frac{1}{sqrt{varepsilon_0mu_0}}<math> zwischen der Vakuum-Lichtgeschwindigkeit c0 und der Permeabilität μ0 und der Permittivität ε0 des leeren Raumes. <math>vec E<math> und <math>vec D<math> sind bei hinreichend kleinen Feldstärken in guter Näherung proportional zu einander
	Die Abweichungen von dieser Proportionalität bei höheren Feldstärken bilden die Grundlage der nichtlinearen Optik
	Die Maxwellgleichungen beschreiben die elektromagnetische Wechselwirkung im Rahmen der klassischen Physik
	In der Quantenphysik ist dazu die Quantenelektrodynamik erforderlich. [Bearbeiten]
Siehe auch
	James Clerk Maxwell Maxwell-Beziehungen (für die Zustandsgrößen der Thermodynamik) en:Maxwell's equations eo:Maxwell ekvacioj es:Ecuaciones de Maxwell fr:Équations de Maxwell he:משוו×?ות מקסוול it:Equazioni di Maxwell ja:マックスウェルã?®æ–¹ç¨‹å¼? ko:맥스웰 ë°©ì •ì‹? nl:Wetten van Maxwell pl:Równania Maxwella sl:Maxwellove enaÄ?be sv:Maxwells elektromagnetiska ekvationer zh:麦克斯韦方程组

[X] Schliessen

Dieser Artikel basiert auf dem Artikel Maxwellsche Gleichungen aus der freien Enzyklopädie wikipedia und steht unter der GNU Lizenz für freie Dokumentation. In der wikipedia ist eine Liste der Autoren verfügbar.