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Mathematik

Stichpunkte

Allgemein
	Siehe Portal Mathematik als Wegweiser zu mathematischen Artikeln
	von mathema â€“ Wissenschaft
	Siehe Mathematik fÃ¼r die Schule als Wegweiser zu Artikeln mit Schulmathematik. Die Mathematik (altgr. Î¼Î±Î¸Î·Î¼Î±Ï„Î¹ÎºÎ·
	Lernen) ist aus der Untersuchung von Figuren und dem Rechnen mit Zahlen entstanden
	die selbstgeschaffene abstrakte Strukturen auf ihre Eigenschaften und Muster untersucht. Inhaltsverzeichnis showTocToggle("Anzeigen"
	Heute versteht man Mathematik ganz allgemein als eine Wissenschaft
	"Verbergen") 1 Inhalte und Teilgebiete 2 Kategorisierung der Mathematik 3 Sonderrolle unter den Wissenschaften 4 Anwendungsgebiete 5 Fortschreiten durch ProblemlÃ¶sen 6 Axiomatische Formulierung 7 Mathematik als menschliche TÃ¤tigkeit 7.1 Mathematik als Schulfach 7.2 Mathematik als Studienfach und Beruf 8 Geschichte 9 Zitate 10 Literatur 11 Weblinks [Bearbeiten]
Inhalte und Teilgebiete
	Die folgende AufzÃ¤hlung gibt einen ersten chronologischen Ãœberblick Ã¼ber die Breite mathematischer Themen (siehe auch: Teilgebiete der Mathematik
	Diophant
	Leonhard Euler
	17
	das rechnerische Erfassen rÃ¤umlicher Beziehungen (Analytische Geometrie â€“ Descartes
	das AuflÃ¶sen von Gleichungen (Algebra â€“ Tartaglia
	Untersuchungen zur Teilbarkeit (Zahlentheorie â€“ Euklid
	das Rechnen mit Zahlen (Arithmetik)
	Fermat
	Riemann)
	Geschichte der Mathematik): die Untersuchung von Figuren (Geometrie â€“ vorklassische Hochkulturen
	Mittelalter und Renaissance)
	Euklid)
	Laplace
	17.â€“19
	Jakob Bernoulli
	das Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten (Stochastik â€“ Pascal
	Jahrhundert)
	KrÃ¼mmung
	die Untersuchung von Funktionen
	Leibniz
	Jahrhundert)
	Ende des 17
	insbesondere deren Wachstum
	dem Verhalten im Unendlichen und der FlÃ¤cheninhalte unter den Kurven (Analysis â€“ Newton
	Hilbert
	GauÃŸ
	18.â€“19
	Green
	Poisson
	Laplace
	Stokes
	Fourier
	die Beschreibung physikalischer Felder (Differentialgleichungen
	partielle Differentialgleichungen
	Vektoranalysis â€“ Leonhard Euler
	die Bernoullis
	Jahrhunderts)
	Jahrhundert)
	WeierstraÃŸ
	Cauchy
	die Perfektionierung der Analysis durch die Einbeziehung komplexer Zahlen (Funktionentheorie â€“ GauÃŸ
	19
	Riemann
	19
	die Vermessung gekrÃ¼mmter FlÃ¤chen und RÃ¤ume (Differentialgeometrie â€“ GauÃŸ
	Levi-Civita
	Jahrhundert)
	Jahrhundert)
	Lie
	das systematische Studium von Symmetrien (Gruppentheorie - Galois
	Klein
	19
	Abel
	Jahrhundert)
	die AufklÃ¤rung von Paradoxien des Unendlichen (Mengenlehre - Cantor
	Fraenkel
	Frege
	Anfang des 20
	Zermelo
	Russell
	die fÃ¼r konkrete kontinuierliche Probleme aus vielen der oben genannten Bereiche Algorithmen zur LÃ¶sung bereitstellt und diese untersucht. [Bearbeiten]
	Jahrhunderts)
	die Untersuchung von Strukturen und Theorien (Kategorientheorie). Etwas abseits steht in dieser AufzÃ¤hlung die Numerische Mathematik
Kategorisierung der Mathematik
	wird seit langer Zeit kontrovers diskutiert
	Ãœber die Frage zur welcher Kategorie der Wissenschaften die Mathematik gehÃ¶rt
	Im englischen und franzÃ¶sischen Sprachraum wird Mathematik lediglich als Science eingestuft
	eine weitere Differenzierung erfolgt dort in der Regel nicht
	und welche auf Ã¤hnliche Weise Probleme angeht
	auch wenn in Deutschland der Doktor der Mathematik in der Regel als Dr. rer. nat. verliehen wird und die Mathematik die beste bekannte Beschreibungssprache fÃ¼r die Natur liefert. Einige ordnen sie den Geisteswissenschaften zu
	da es mit der Philosophie eine Wissenschaft gibt
	die oftmals den Geisteswissenschaften zugerechnet wird
	Da die Mathematik sich nicht mit der Natur
	lÃ¤sst sie sich nicht den Naturwissenschaften zuordnen
	wie die Mathematik (wie etwa im Gebiet der Logik)
	sondern mit abstrakten Gebilden befasst
	Allerdings herscht auch Ã¼ber die Einordnung der Philosophie kein Konsens
	Wieder andere sehen die Mathematik Ã¤hnlich der Informatik als Strukturwissenschaft bzw
	Formalwissenschaft an. [Bearbeiten]
Sonderrolle unter den Wissenschaften
	Eine Sonderrolle unter den Wissenschaften nimmt die Mathematik bezÃ¼glich der GÃ¼ltigkeit ihrer Erkenntnisse ein
	muss fÃ¼r mathematische Erkenntnisse ein streng logischer Beweis gefunden werden
	bevor sie als mathematischer Satz anerkannt werden
	WÃ¤hrend beispielsweise alle naturwissenschaftlichen Erkenntnisse durch neue Experimente falsifiziert werden kÃ¶nnen und daher prinzipiell vorlÃ¤ufig sind
	Mathematische Aussagen werden also durch reine Gedankenoperationen auseinander hervorgebracht oder aufeinander zurÃ¼ckgefÃ¼hrt
	In diesem Sinn sind mathematische SÃ¤tze prinzipiell endgÃ¼ltige und allgemeingÃ¼ltige Wahrheiten
	so dass Mathematik als die exakte Wissenschaft betrachtet werden kann
	Gerade diese Exaktheit ist fÃ¼r viele Menschen das Faszinierende an der Mathematik. [Bearbeiten]
Anwendungsgebiete
	Die Mathematik ist in allen Wissenschaften anwendbar
	die ausreichend formalisiert sind
	Daraus ergibt sich ein enges Wechselspiel mit Anwendungen in empirischen Wissenschaften. Ãœber viele Jahrhunderte hinweg hat die Mathematik Anregungen aus der Astronomie
	der GeodÃ¤sie
	der Physik und der Ã–konomie aufgenommen und umgekehrt die Grundlagen fÃ¼r den Fortschritt dieser FÃ¤cher bereitgestellt
	Beispielsweise hat Newton die Infinitesimalrechnung entwickelt
	um das physikalische Konzept "Kraft gleich ImpulsÃ¤nderung" mathematisch zu fassen; Fourier hat beim Studium der Wellengleichung die Grundlage fÃ¼r den modernen Funktionsbegriff gelegt; GauÃŸ hat im Rahmen der Hannoverschen Landesvermessung die Methode der kleinsten Fehlerquadrate entwickelt und das LÃ¶sen von linearen Gleichungen systematisiert
	die erst spÃ¤ter Ã¼berraschende praktische Anwendungen gefunden haben wie die Boolesche Algebra in der Digitaltechnik oder der DifferentialformenkalkÃ¼l in der Allgemeinen RelativitÃ¤tstheorie
	Umgekehrt haben Mathematiker zuweilen Theorien entwickelt
	ohne sie wÃ¤ren heute allerdings die moderne Kryptographie und ihre vielfÃ¤ltigen Anwendungen im Internet nicht denkbar
	Ferner galt lange Zeit die BeschÃ¤ftigung mit der Zahlentheorie als reine intellektuelle Spielerei ohne praktischen Nutzen
	Siehe auch den Artikel Angewandte Mathematik. [Bearbeiten]
Fortschreiten durch ProblemlÃ¶sen
	wie sie durch das Bearbeiten von "eigentlich zu schweren" Problemen voranschreitet
	Kennzeichnend fÃ¼r die Mathematik ist weiterhin die Weise
	folgende Frage zu verstehen und durch Probieren zu beantworten: "Welche Zahl muss man zu 3 addieren
	ist er in der Lage
	Sobald ein GrundschÃ¼ler das Addieren natÃ¼rlicher Zahlen gelernt hat
	um 5 zu erhalten?"
	Die systematische LÃ¶sung solcher Aufgaben aber erfordert die EinfÃ¼hrung eines neuen Konzepts: der Subtraktion
	Die Frage lÃ¤sst sich dann umformulieren zu: "Was ist 5 minus 3?"
	Sobald aber die Subtraktion definiert ist
	kann man auch die Frage stellen: "Was ist 3 minus 5?"
	die auf eine negative Zahl und damit bereits Ã¼ber die Grundschulmathematik hinausfÃ¼hrt
	Ebenso wie in diesem elementaren Beispiel beim individuellen Erlernen ist die Mathematik auch in ihrer Geschichte fortgeschritten: auf jedem erreichten Stand ist es mÃ¶glich
	zu deren LÃ¶sung weitaus anspruchsvollere Mittel nÃ¶tig sind
	wohldefinierte Aufgaben zu stellen
	Oft sind zwischen der Formulierung eines Problems und seiner LÃ¶sung viele Jahrhunderte vergangen und ist mit der ProblemlÃ¶sung schlieÃŸlich ein vÃ¶llig neues Teilgebiet begrÃ¼ndet worden: so konnten mit der Infinitesimalrechnung im 17
	die seit der Antike offen waren
	Jahrhundert Probleme gelÃ¶st werden
	der Beweis der UnlÃ¶sbarkeit eines Problems
	kann die Mathematik voranbringen: so ist aus gescheiterten Versuchen zur AuflÃ¶sung algebraischer Gleichungen die Gruppentheorie entstanden. [Bearbeiten]
	Auch eine negative Antwort
Axiomatische Formulierung
	Seit dem Ende des 19
	wird die Mathematik in Form von Theorien prÃ¤sentiert
	vereinzelt schon seit der Antike
	welche als wahr angesehen werden; daraus werden dann weitere wahre Aussagen hergeleitet
	Jahrhunderts
	die mit Aussagen beginnen
	Diese Herleitung geschieht dabei nach genau festgelegten Schlussregeln
	nennt man Axiome
	Die Aussagen
	die daraus hergeleiteten nennt man SÃ¤tze
	mit denen die Theorie anfÃ¤ngt
	Die Herleitung selbst ist ein Beweis des Satzes
	das vorausgesetzt wird
	In der Praxis spielen noch Definitionen eine Rolle
	sie gehÃ¶ren aber zum Handwerkszeug der Logik
	Aufgrund dieses Aufbaus der mathematischen Theorien bezeichnet man sie als axiomatische Theorien
	die ebenfalls durch Axiome definiert werden
	Die von diesen Theorien behandelten GegenstÃ¤nde sind abstrakte mathematische Strukturen
	WÃ¤hrend in den anderen Wissenschaften die behandelten GegenstÃ¤nde vorgegeben sind und danach die Methoden zur Untersuchung dieser GegenstÃ¤nde geschaffen werden
	ist bei der Mathematik umgekehrt die Methode vorgegeben und die damit untersuchbaren GegenstÃ¤nde werden erst danach erschaffen
	In dieser Weise nimmt und nahm die Mathematik immer eine Sonderstellung unter den Wissenschaften ein
	Beweisen und Definitionen
	die nicht axiomatisch strukturiert sind
	sondern vor allem durch die Intuition und Erfahrung der beteiligten Mathematiker geprÃ¤gt sind
	Die Weiterentwicklung der Mathematik geschah und geschieht dagegen oft durch Sammlungen von SÃ¤tzen
	Die Umwandlung in eine axiomatische Theorie erfolgt erst spÃ¤ter
	wenn weitere Mathematiker sich mit den dann nicht mehr ganz so neuen Ideen beschÃ¤ftigen
	dass es wahre Aussagen in jedem mathematischen Axiomensystem gibt
	die nicht bewiesen werden kÃ¶nnen
	Allerdings sind der Axiomatisierung der Mathematik auch Grenzen gesetzt
	Kurt GÃ¶del zeigte um 1930 in dem nach ihm benannten UnvollstÃ¤ndigkeitssatz
	Weitere Ergebnisse zur prinzipiellen Berechenbarkeit und zur prinzipiellen Entscheidbarkeit mathematischer SÃ¤tze wurden von Gregory Chaitin gefunden. [Bearbeiten]
Mathematik als menschliche TÃ¤tigkeit
	mathematische Leistungen zu erbringen. siehe auch: Phylogenese mathematischer FÃ¤higkeiten [Bearbeiten]
	Auch nichtmenschliche Lebewesen
	speziell Tiere sind in begrenztem Umfang fÃ¤hig
Mathematik als Schulfach
	Siehe Mathematik in der Schule
	Mathematikdidaktik. [Bearbeiten]
Mathematik als Studienfach und Beruf
	nennt man Mathematiker
	Menschen
	die sich beruflich mit der Entwicklung und der Anwendung der Mathematik beschÃ¤ftigen
	Neben dem Diplommathematikstudium
	Wirtschaftsmathematik und Computermathematik eingerichtet worden
	in dem man seine Schwerpunkte auf die reine und/oder angewandte Mathematik setzen kann
	sind neuerdings die speziallisierten StudiengÃ¤nge Technomathematik
	Siehe auch: Studium der Technischen Mathematik [Bearbeiten]
Geschichte
	Die Mathematik ist eine der Ã¤ltesten Wissenschaften Ã¼berhaupt
	Eine erste BlÃ¼te erlebte sie in der Antike
	in Griechenland und im Hellenismus
	von dort datiert die Orientierung an der Aufgabenstellung des Â»rein logischen BeweisensÂ« und die erste Axiomatisierung
	nÃ¤mlich die euklidische Geometrie. Im Mittelalter Ã¼berlebte sie unabhÃ¤ngig voneinander im frÃ¼hen Humanismus der UniversitÃ¤ten und in der arabischen Welt. Die Entwicklung in der Neuzeit ist erst durch die Naturwissenschaften (ab 1600)
	dann sehr stark durch den innermathematischen Prozess der Axiomatisierung (ab etwa 1850) und schlieÃŸlich die Entwicklung der Computertechnik (ab 1930) bestimmt worden
	FÃ¼r ausfÃ¼hrlichere Informationen siehe den Artikel Geschichte der Mathematik. [Bearbeiten]
Zitate
	Vorlage:Wikiquote1 Do not worry about your difficulties in mathematics; I can assure you that mine are still greater
	die Mathematik bedarf keiner
	Albert Einstein Jede Wissenschaft bedarf der Mathematik
	Jakob Bernoulli Erstaunlich und entzÃ¼ckend ist die Macht zwingender Beweise
	und so sind allein die mathematischen geartet
	nor whether what we are saying is true
	Galileo Galilei Mathematics may be defined as the subject in which we never know what we are talking about
	Bertrand Russell [Bearbeiten]
Literatur
	Hans Kaiser
	Wilfried NÃ¶bauer: Geschichte der Mathematik
	Berlin/Heidelberg 2000 ISBN 354063777X Glaeser
	DE: ISBN 3-486-11595-2 Ã–: ISBN 3-209-02212-7 Richard Courant
	Georg: Der Mathematische Werkzeugkasten
	Herbert Robbins: Was ist Mathematik?. Springer-Verlag
	2004
	Elsevier - Spektrum Akademischer Verlag
	ISBN 3-8274-1485-7. [Bearbeiten]
Weblinks
	Vorlage:Wiktionary1 Vorlage:Wikibooks1 Mathematik und Informatik von Wolfgang Moebius (http://www.learn.de/) "5 Minuten Mathematik" (http://www.mathematik.de/mde/presse/fuenfminuten/fuenfminuten.html) RegelmÃ¤ÃŸige Kolumne des Mathematikprofessors Ehrhard Behrends zur Popularisierung der Mathematik Zeugnisse Ã¼ber Mathematik (http://www.w-volk.de/museum/exposi.htm) webmath.com - solve your math problem (http://www.webmath.com/) Hervorragende englischsprachige Seite mit Berechnungsprogrammen zu unzÃ¤hligen Problemen und deren LÃ¶sungswegen! matheplanet (http://www.matheplanet.com) Mathematik-Wissen.de (http://www.mathematik-wissen.de) Mathematik fÃ¼r SchÃ¼ler Zentralblatt fÃ¼r Mathematik: MATH-Datenbank (http://www.emis.de/ZMATH/) af:Wiskunde als:MathÃ©matiques an:Matematicas ar:Ø±ÙŠØ§Ø¶ÙŠØ§Øª ast:MatemÃ¡tiques be:ÐœÐ°Ñ‚Ñ?Ð¼Ð°Ñ‚Ñ‹ÐºÐ° bg:ÐœÐ°Ñ‚ÐµÐ¼Ð°Ñ‚Ð¸ÐºÐ° br:MatematikoÃ¹ bs:Matematika ca:MatemÃ tiques co:Matematica cs:Matematika cy:Mathemateg da:Matematik el:ÎœÎ±Î¸Î·Î¼Î±Ï„Î¹ÎºÎ¬ en:Mathematics eo:Matematiko es:MatemÃ¡ticas et:Matemaatika eu:Matematika fi:Matematiikka fr:MathÃ©matiques fy:Wiskunde ga:Matamaitic gd:Matamataig gl:MatemÃ¡tica he:×ž×ª×ž×˜×™×§×” hr:Matematika hu:Matematika ia:Mathematica id:Matematika is:StÃ¦rÃ°frÃ¦Ã°i it:Matematica ja:æ•°å¦ jbo:Cmaci ko:ìˆ˜í•™ la:Mathematica lt:Matematika lv:MatemÄ?tika mk:ÐœÐ°Ñ‚ÐµÐ¼Ð°Ñ‚Ð¸ÐºÐ° ms:Matematik nl:Wiskunde no:Matematikk pl:Matematyka pt:MatemÃ¡tica ro:MatematicÄƒ ru:ÐœÐ°Ñ‚ÐµÐ¼Ð°Ñ‚Ð¸ÐºÐ° scn:Matimatica simple:Mathematics sk:Matematika sl:Matematika sr:ÐœÐ°Ñ‚ÐµÐ¼Ð°Ñ‚Ð¸ÐºÐ° su:Matematik sv:Matematik sw:Hisabati ta:à®•à®£à®¿à®¤à®®à¯? th:à¸„à¸“à¸´à¸•à¸¨à¸²à¸ªà¸•à¸£à¹Œ tr:Matematik tt:Matematik uk:ÐœÐ°Ñ‚ÐµÐ¼Ð°Ñ‚Ð¸ÐºÐ° zh-cn:æ•°å¦ zh-tw:æ•°å¦

[X] Schliessen

Dieser Artikel basiert auf dem Artikel Mathematik aus der freien Enzyklopädie wikipedia und steht unter der GNU Lizenz für freie Dokumentation. In der wikipedia ist eine Liste der Autoren verfügbar.

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Inhalt Lexikon:

Allgemein

Inhalte und Teilgebiete

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Sonderrolle unter den Wissenschaften

Anwendungsgebiete

Fortschreiten durch ProblemlÃ¶sen

Axiomatische Formulierung

Mathematik als menschliche TÃ¤tigkeit

Mathematik als Schulfach

Mathematik als Studienfach und Beruf

Geschichte

Zitate

Literatur

Weblinks