Lorentz-Transformation und Minkowski-Raum

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Lorentz-Transformation und Minkowski-Raum

Stichpunkte

Allgemein
	"Verbergen") 1 Die Lorentz-Transformation 2 Die entscheidenden Substitutionen 3 Die Lorentz-Transformation als Transformation zwischen einem rechtwinkligen und einem schiefwinkligen Koordinatensystem 4 Der Minkowski-Raum 5 Die Metrik des Minkowski-Raumes 6 Abbildung einer pseudo-euklidischen Ebene in eine euklidische 7 Warum verschwindet bei der Drehung die X'-Achse nicht aus unserem Erfahrungsraum? 8 Weblinks [Bearbeiten]
	Dieser Artikel beschreibt den gedanklichen Weg von der Lorentz-Transformation zum Minkowski-Raum und behandelt damit Grundlagen der speziellen RelativitÃ¤tstheorie
	Einsteins Theorie der flachen Raumzeit. Inhaltsverzeichnis showTocToggle("Anzeigen"
Die Lorentz-Transformation
	d.h. unabhÃ¤ngig von der Relativgeschwindigkeit des Beobachters zur Strahlenquelle
	Im Sinne von Albert Einsteins spezieller RelativitÃ¤tstheorie ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit elektromagnetischer Wellen (und insbesondere des Lichts) im Vakuum konstant
	Damit verliert die klassische Galilei-Transformation ihre GÃ¼ltigkeit und muss durch neue Ãœberlegungen ersetzt werden
	y
	z) zur Zeit t irgendein Ereignis (von der Dauer null) statt
	In einem Bezugssystem S finde in einem Punkt P (x
	y
	t) als die "Koordinaten" des Ereignisses E bezeichnen. (Ein zeitlich andauernder Vorgang kann durch zwei Ereignisse - seinen Beginn und sein Ende - eingegrenzt werden.) Ein anderes Bezugssystem S' bewege sich (wie Ã¼blich) relativ zu S mit der Geschwindigkeit v in Richtung der (gemeinsamen) positiven X-Achsen
	Man kann dann (x
	z
	y'
	Im Bezugssystem S' habe der Punkt P die Koordinaten (x'
	dann sind seine Koordinaten in S konstant; in S' dagegen verÃ¤ndert sich wegen der Bewegung von S' seine x'-Koordinate
	und umgekehrt (Beispiel: Das SchlieÃŸen einer AbteiltÃ¼r im vorÃ¼berfahrenden Zug)
	und der Zeitpunkt des Ereignisses sei t'. Ist das Ereignis bzw. der Vorgang im System S ortsfest (Beispiel: Das SchlieÃŸen einer Bahnschranke in S)
	z')
	von der das Signal ausgeht
	die in beiden Systemen ortsfest sind
	in dem einen oder in dem anderen Bezugssystem befestigt ist
	Es sind aber auch Ereignisse denkbar
	so z.B. der Start eines Lichtsignals an einem bestimmten Punkt P
	ob die Lampe
	wobei es nach der RelativitÃ¤tstheorie gleichgÃ¼ltig ist
	In einem solchen Fall spaltet sich der Punkt P gleichsam in zwei Punkte P und P' auf
	wobei P in S und P' in S' ortsfest ist. (Gerade dieser Fall wird oft zu wenig beachtet
	wenn AnfÃ¤nger sich mit den Grundlagen der Speziellen RelativitÃ¤tstheorie vertraut machen wollen.) Die Umrechnung der Koordinaten eines Ereignisses von einem Bezugssystem auf das andere regelt die Lorentz-Transformation
	t und t'. [Bearbeiten]
	lauten ihre Gleichungen: <math> begin{matrix} x' = frac{x - v t}{sqrt{1-frac{v^2}{c^2}}}; & y' = y; & z' = z; & t' = frac{t-frac{v x}{c^2}}{sqrt{1-frac{v^2}{c^2}}} \ \ x = frac{x' + v t'}{sqrt{1-frac{v^2}{c^2}}}; & y = y'; & z = z'; & t = frac{t'+frac{vx'}{c^2}}{sqrt{1-frac{v^2}{c^2}}} end{matrix} <math> Im Folgenden beschrÃ¤nke ich mich auf die Gleichungen fÃ¼r x
	Unter der Ã¼blichen Annahme
	dass zur Zeit t = t' = 0 die UrsprÃ¼nge O und O' der Bezugssysteme zusammenfallen
	x'
Die entscheidenden Substitutionen
	nÃ¤mlich die Strecken
	so werden die Gleichungen der Lorentz-Transformation symmetrisch hinsichtlich der Variablen x und w bzw. x' und w': <math> begin{matrix} x' = frac{x-frac{v}{c} w}{sqrt{1-frac{v^2}{c^2}}}; & w' = frac{w-frac{v}{c} x}{sqrt{1-frac{v^2}{c^2}}}\ \ x = frac{x'+frac{v}{c}w'}{sqrt{1-frac{v^2}{c^2}}}; & w = frac{w'+frac{v}{c}x'}{sqrt{1-frac{v^2}{c^2}}} end{matrix} <math> Man beachte
	die das Licht in der Zeit t bzw. t' zurÃ¼cklegt
	sondern Strecken darstellen
	FÃ¼hrt man durch die Substitutionen w = c t und w' = c t' die neuen Variablen w und w' ein
	dass die Variablen w und w' nicht mehr Zeiten
	In ihrer neuen Form besitzt die Lorentz-Transformation neben der soeben genannten Symmetrie weitere wichtige Eigenschaften. [Bearbeiten]
Die Lorentz-Transformation als Transformation zwischen einem rechtwinkligen und einem schiefwinkligen Koordinatensystem
	dass die Gleichungen der Lorentz-Transformation unter zwei Bedingungen identisch sind mit den aus der Analytischen Geometrie bekannten Transformationsgleichungen zwischen einem rechtwinkligen und einem schiefwinkligen Koordinatensystem
	dessen Achsen um den gleichen Winkel Ï† in entgegengesetzten Richtungen gedreht sind. (Ich beschrÃ¤nke mich dabei auf die Transformationsgleichungen fÃ¼r lediglich eine Richtung
	nÃ¤mlich von x' nach x und von t' nach t.) Abbildung 1 <math> x = x' cosvarphi + y' sinvarphi <math> <math> x = frac{x'+frac{v}{c}w'}{sqrt{1-frac{v^2}{c^2}}} <math> <math> y = x' sinvarphi + y' cosvarphi <math> <math> w = frac{w'+frac{v}{c}x'}{sqrt{1-frac{v^2}{c^2}}} <math> Die Bedingungen fÃ¼r die IdentitÃ¤t der Gleichungen lauten: FÃ¼r den Drehwinkel Ï† muss gelten: tan Ï† = v/c Die Einheitsstrecken e' auf den gedrehten Achsen sind lÃ¤nger als die Einheitsstrecken e auf den rechtwinkligen Achsen
	Es lÃ¤sst sich zeigen
	und zwar muss gelten: <math> e' = frac{e}{sqrt{cos 2varphi}} <math> Unter BerÃ¼cksichtigung dieser Bedingungen lÃ¤sst sich die IdentitÃ¤t der entsprechenden Gleichungen beweisen
	Die beiden rechts gezeichneten Systeme S(X
	W') kÃ¶nnen bei Bedarf jederzeit um eine Y- bzw
	W) und S'(X'
	Y'-Achse ergÃ¤nzt werden
	wodurch zwei dreidimensionale Systeme entstehen
	Dagegen ist die ErgÃ¤nzung durch die Z/Z'-Achsen zu einem vierdimensionalen Raum zwar denkbar und mathematisch handhabbar
	weil die von uns wahrnehmbare RealitÃ¤t und unser VorstellungsvermÃ¶gen auf drei Dimensionen beschrÃ¤nkt sind. [Bearbeiten]
	aber sie ist nicht vorstellbar und auch zeichnerisch nicht durchfÃ¼hrbar
Der Minkowski-Raum
	Der soeben beschriebene vierdimensionale Raum heiÃŸt Minkowski-Raum
	dass man auf die Dimension Z bzw. die Dimensionen Z und Y verzichtet. Hermann Minkowski selbst hat diesen Raum schlicht als "die Welt" bezeichnet
	weil er ihn fÃ¼r eine adÃ¤quate (wenngleich abstrakte) Darstellung der RealitÃ¤t hielt
	Derselbe Name wird aber auch fÃ¼r die drei- bzw. zweidimensionalen Ausschnitte aus dem vierdimensionalen Minkowski-Raum benutzt
	die dadurch entstehen
	Diese "Welt" sollte nach Minkowski an die Stelle des absoluten Raumes und der absoluten Zeit Newtons treten
	substanziellen Erweiterung der zunÃ¤chst lediglich formalen RelativitÃ¤tstheorie Albert Einsteins
	Dieser kÃ¼hne Gedanke fÃ¼hrte zu einer wesentlichen
	das im Punkt P(x
	w) im Minkowski-Raum darzustellen
	wovon die letzte Koordinate w = c t proportional der Zeit t ist
	durch einen Punkt E(x
	z
	w
	y
	die dem entsprechenden Punkt zukommt. Durch diese VierdimensionalitÃ¤t ist es mÃ¶glich
	Jeder Punkt des vollstÃ¤ndigen Minkowski-Raumes hat vier rÃ¤umliche Koordinaten x
	z
	z) des dreidimensionalen Raumes unserer Erfahrung (unseres "Erfahrungsraumes") zur Zeit t stattfindet
	y
	y
	den Ort eines Ereignisses E
	Ein solcher Punkt E heiÃŸt Ereignispunkt. (Er wird oft auch kurz aber ungenau als Ereignis bezeichnet
	Ein Ereignispunkt ist lediglich der Ort eines Ereignisses im Minkowski-Raum
	nicht das Ereignis selbst.) UrsprÃ¼nglich ist die Lorentz-Transformation die Gesamtheit der relativistischen Transformationsgleichungen fÃ¼r den Ãœbergang von einem Bezugssystem zu einem relativ dazu bewegten zweiten Bezugssystem
	Nach dem oben Gesagten aber kann die Lorentz-Transformation auch aufgefasst werden als die Gesamtheit der Transformationsgleichungen fÃ¼r den Ãœbergang von einem rechtwinkligen zu einem schiefwinkligen Koordinatensystem im Minkowski-Raum und umgekehrt
	Das bedeutet: Der Ãœbergang von einem Bezugssystem im dreidimensionalen Erfahrungsraum zu einem relativ dazu bewegten Bezugssystem ist gleichwertig mit dem Ãœbergang von einem rechtwinkligen zu einem schiefwinkligen Koordinatensystem im vierdimensionalen Minkowski-Raum
	Die beiden Systeme S und S' sind keine Ã¼blichen Koordinatensysteme (sondern eben "Bezugssysteme")
	da ihre X/X'-Achsen sich im Laufe der Zeit mit Lichtgeschwindigkeit auf der W- bzw
	W'-Achse nach oben (bzw. schrÃ¤g oben) bewegen
	Y- und Z-Achsen auf der jeweiligen W-Achse entlang gleiten
	wobei die Nullpunkte 0 und 0' der X-
	Dies erklÃ¤rt sich daraus
	dass die W-Koordinate des Nullpunkts im Laufe der Zeit stÃ¤ndig wÃ¤cht: w = c t
	dass die X-Achse und die X'-Achse nicht mehr zusammenfallen - obwohl sie doch im Erfahrungsraum aufeinander liegen - wird uns spÃ¤ter noch beschÃ¤ftigen
	Dabei bewegt sich - wie im dreidimensionalen Erfahrungsraum - der Nullpunkt der X'-Achse mit der Geschwindigkeit v auf der X-Achse nach rechts. Welche Bedeutung und welche Konsequenzen die bemerkenswerte Tatsache hat
	z) und (x'
	Als Folge der unterschiedlichen Bewegungen von 0 und 0' bleiben die drei Koordinaten (x
	y
	y'
	z') irgendeines Ereignispunktes E im Minkowski-Raum im Laufe der Zeit unverÃ¤ndert
	erÃ¼brigt sich also: alle Ereignisse sind im Minkowski-Raum in allen Bezugssystemen ortsfest
	Die Frage
	in welchem Bezugssystem das Ereignis "ortsfest" ist
	Die Darstellung der Bezugssysteme im Minkowski-Raum entspricht also auch in dieser Hinsicht dem grundlegenden RelativitÃ¤tsprinzip: Alle Bezugssysteme sind gleichwertig
	Der Minkowski-Raum erlaubt es
	den optischen Doppler-Effekt und sogar das relativistische Additionstheorem fÃ¼r Geschwindigkeiten. (Die RelativitÃ¤t der Masse und die TrÃ¤gheit der Energie allerdings entziehen sich einer solchen Veranschaulichung.) Mit Hilfe der Transformation auf ein schiefwinkliges Koordinatensystem kÃ¶nnen alle die genannten Effekte also veranschaulicht und halbwegs plausibel gemacht werden
	die grundlegenden Aussagen der Speziellen RelativitÃ¤tstheorie anschaulich zu machen: die RelativitÃ¤t der Gleichzeitigkeit und die RelativitÃ¤t der LÃ¤nge
	sie kÃ¶nnen jedoch nicht kausal erklÃ¤rt werden
	woher es kommt
	dass sich Zeitintervalle und Strecken in der beschriebenen Weise verhalten und warum der eine der beiden Zwillinge beim so genannten "Zwillingsparadoxon" (das kein Paradoxon ist) langsamer altert als der andere
	Das heiÃŸt: Die Transformation liefert keine BegrÃ¼ndung fÃ¼r diese Effekte; sie beantwortet nicht die Frage
	Mit dieser Frage befasst sich das nÃ¤chste Kapitel. [Bearbeiten]
Die Metrik des Minkowski-Raumes
	In der klassischen Physik (und nach dem "gesunden Menschenverstand") ist das Weltall ein dreidimensionaler euklidischer Raum
	in dem die "absolute Zeit" unabhÃ¤ngig von jedem Ã¤uÃŸeren Einfluss ablÃ¤uft (Isaac Newton)
	Diese Vorstellung von Raum und Zeit ist durch die Spezielle RelativitÃ¤tstheorie hinfÃ¤llig geworden. Die Spezielle RelativitÃ¤tstheorie in ihrer ursprÃ¼nglichen Form bietet jedoch keinen Ersatz fÃ¼r diese Vorstellung an
	Sie hat die Fragen nicht beantwortet
	Strecken und sogar Massen von der Geschwindigkeit des Beobachters abhÃ¤ngig sind und die Zeit umso langsamer vergeht
	sondern die der RelativitÃ¤tstheorie gelten
	wie wir uns nunmehr Raum und Zeit zu denken haben und wie die Struktur des Weltalls beschaffen sein muss
	je schneller man im Weltall umherreist
	wenn in ihm nicht die Gesetze der klassischen Physik
	wenn Zeitintervalle
	wÃ¤hrend Albert Einstein bereits Ã¼ber eine Allgemeine RelativitÃ¤tstheorie nachdachte
	wenn in ihm solche Effekte sozusagen normal und naturgesetzlich sind? Mit dieser Frage hat sich erst Hermann Minkowski beschÃ¤ftigt
	Wie muss die Struktur des Weltall beschaffen sein
	Der SchlÃ¼ssel zur Antwort liegt in der Lorentz-Transformation verborgen
	dass fÃ¼r die Koordinaten eines jeden Ereignispunktes in zwei beliebigen Bezugssystemen gilt: xÂ² + yÂ² + zÂ² - wÂ² = x'Â² + y'Â² + z'Â² - w'Â² Ebenso gilt fÃ¼r die Koordinatendifferenzen zweier Ereignispunkte in zwei beliebigen Bezugssystemen Î”xÂ² + Î”yÂ² + Î”zÂ² - Î”wÂ² = Î”x'Â² + Î”y'Â² + Î”z'Â² - Î”w'Â² oder einfacher bei BeschrÃ¤nkung auf je zwei Koordinaten: xÂ² - wÂ² = x'Â² - w'Â² bzw. Î”xÂ² - Î”wÂ² = Î”x'Â² - Î”w'Â² Was kann das bedeuten? Im euklidischen Raum gilt beim Ãœbergang von einem rechtwinkligen Koordinatensystem zu einem anderen
	ebenfalls rechtwinkligen Koordinatensystem mit demselben Ursprung
	xÂ² + wÂ² = x'Â² + w'Â² und Î”xÂ² + Î”wÂ² = Î”x'Â² + Î”w'Â² Die Terme links und rechts des Gleichheitszeichens stellen nÃ¤mlich (nach Pythagoras) das Quadrat des Abstandes des betrachteten Punktes vom Ursprung bzw. das Quadrat des Abstandes zweier Punkte dar
	Es lÃ¤sst sich leicht zeigen
	und diese AbstÃ¤nde bleiben bei Drehung des Koordinatensystems konstant. Die GÃ¼ltigkeit des Satzes von Pythagoras ist eines der Merkmale des euklidischen Raumes
	das jedoch gegenÃ¼ber dem ersten um einen beliebigen Winkel gedreht ist
	Seit geraumer Zeit beschÃ¤ftigen sich Mathematiker aber auch mit nicht-euklidischen RÃ¤umen
	in denen andere Gesetze gelten
	So gibt es zum Beispiel einen sog. pseudo-euklidischen Raum bestimmter Struktur (oder Metrik)
	in dem das Abstandsquadrat zweier Punkte wie folgt berechnet wird: Î”sÂ² = Î”xÂ² - Î”wÂ² Dementsprechend gilt fÃ¼r das Abstandsquadrat eines Punktes vom Ursprung sÂ² = xÂ² - wÂ² und beide GrÃ¶ÃŸen bleiben bei Drehung des Koordinatensystems konstant
	dass der Minkowski-Raum ein pseudo-euklidischer Raum von eben dieser Metrik ist
	Man kann daraus folgern
	Alle relativistischen Effekte sind dann die notwendige Folge dieser Struktur des Raumes
	Anders ausgedrÃ¼ckt: In dem pseudo-euklidischen Raum dieser Metrik lauten grundlegende Gesetze der Physik genau so
	wie sie von der Speziellen RelativitÃ¤tstheorie beschrieben werden
	Der Ãœbergang von einem Bezugssystem auf ein relativ dazu bewegtes stellt sich im Minkowski-Raum dar als Ãœbergang zu einem gedrehten
	ebenfalls rechtwinkligen vierdimensionalen Bezugssystem
	Der Drehwinkel Ï† hÃ¤ngt in der genannten Weise von der Relativgeschwindigkeit v der beiden Bezugssysteme ab: tan Ï† = v/c Da beide Bezugssysteme rechtwinklig sind
	sind sie auch in dieser Hinsicht gleichberechtigt. [Bearbeiten]
Abbildung einer pseudo-euklidischen Ebene in eine euklidische
	warum - entgegen den eben gemachten Aussagen - das X'W'-Bezugssystem in der obigen Abbildung nicht rechtwinklig sondern schiefwinklig ist
	Es bleibt noch die Frage zu erÃ¶rtern
	Der Grund dafÃ¼r ist folgender: Die XW-Ebene des Minkowski-Raumes ist pseudo-euklidisch und kann also solche nicht ohne weiteres in eine euklidische Ebene abgebildet werden
	sind euklidische Ebenen und daher zur Abbildung einer pseudo-euklidischen Ebene nicht brauchbar. Nun lÃ¤sst sich aber zeigen
	dass wesentliche physikalische Eigenschaften der ursprÃ¼nglichen Ebene erhalten bleiben
	dass sie aber unter bestimmten Bedingungen immerhin so abgebildet werden kÃ¶nnen
	dass zwei rechtwinklige
	Alle Zeichenebenen unsres Erfahrungsraumes sind aber von euklidischer Struktur
	gegeneinander gedrehte Koordinatensysteme in einer pseudo-euklidischen Ebene zwar nicht "naturgetreu" (d. h. als rechtwinklig) in eine euklidische Ebene abgebildet werden kÃ¶nnen
	wie sie oben beschrieben wurden
	wenn die X'-Achse in entgegengesetzter Richtung um den gleichen Winkel Ï† gedreht wird wie die W'-Achse
	Dies ist genau dann der Fall
	dass gilt: <math> e' = frac{e}{sqrt{cos 2varphi}} <math> Das sind aber genau die Bedingungen
	und die Einheitsstrecken e' im schiefen System so verlÃ¤ngert werden
	um den Winkel Ï† gedrehten Koordinatensystems in eine euklidische Ebene. [Bearbeiten]
	Das in der obigen Abbildung dargestellte schiefwinklige Koordinatensystem ist also nichts anderes als die Abbildung eines in der pseudo-euklidischen Ebene gelegenen rechtwinkligen
Warum verschwindet bei der Drehung die X'-Achse nicht aus unserem Erfahrungsraum?
	verschwinden alle Punkte der X'-Achse (auÃŸer 0') aus dem Erfahrungsraum des Beobachters in S in die vierte Dimension
	Wenn die X'-Achse gegenÃ¼ber der X-Achse um den Nullpunkt 0 gedreht wird
	zeigen unterschiedliche Zeiten an
	die wir uns lÃ¤ngs der X'-Achse angebracht denken
	warum gerade der ganz willkÃ¼rlich gewÃ¤hlte Nullpunkt sichtbar bleiben sollte.) Nun
	aber die Uhren
	es bleiben sÃ¤mtliche Punkte des Zuges (allgemein: der X'-Achse) fÃ¼r den Beobachter in S sichtbar
	Dies scheint der Erfahrung vÃ¶llig zu widersprechen: Ein bewegter Zug zum Beispiel verschwindet nicht von den Schienen und aus unserer Wahrnehmung. (Und es wÃ¤re auch gar nicht einzusehen
	Das bedeutet
	A
	dass die Punkte der X'-Achse
	C und D) aus verschiedenen Zeiten stammen
	die auf der X-Achse liegen (in der Abbildung die Punkte O
	B
	oder - im Minkowski-Raum gesehen - aus verschiedenen HÃ¶henlagen der vierten Dimension. Abbildung 2 In der Abbildung sind nur 5 verschiedene X'-Achsen dargestellt
	Man muss sich jedoch vorstellen
	dass durch jeden Punkt der X-Achse jeweils eine X'-Achse geht
	Das heiÃŸt: Wir mÃ¼ssen uns im Minkowski-Raum eine Ebene vorstellen
	nÃ¤mlich den
	der gerade auf seiner X-Achse liegt. Abbildung 3 [Bearbeiten]
	die dicht mit X'-Achsen ausgefÃ¼llt ist
	von denen jede aus einer anderen Zeit stammt und die alle gleichzeitig anwesend sind - wenn auch ein Beobachter in S von jeder jeweils nur einen einzigen Punkt wahrnimmt
Weblinks
	http://home.vr-web.de/si.pe/Spez.Rel.Theorie http://home.vr-web.de/si.pe/Einsteins-Welt http://home.vr-web.de/si.pe/Die-vierdimensionale-Welt http://home.vr-web.de/si.pe/Wesen-der-Zeit http://wikibooks.org/wiki/Spezielle_RelativitÃ¤tstheorie

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Die Lorentz-Transformation

Die entscheidenden Substitutionen

Die Lorentz-Transformation als Transformation zwischen einem rechtwinkligen und einem schiefwinkligen Koordinatensystem

Der Minkowski-Raum

Die Metrik des Minkowski-Raumes

Abbildung einer pseudo-euklidischen Ebene in eine euklidische

Warum verschwindet bei der Drehung die X'-Achse nicht aus unserem Erfahrungsraum?

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