Lie-Algebra

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Lie-Algebra

Stichpunkte

Allgemein
	die hauptsÃ¤chlich zum Studium geometrischer Objekte wie Lie-Gruppen und differenzierbare Mannigfaltigkeiten eingesetzt wird. Inhaltsverzeichnis showTocToggle("Anzeigen"
	ist eine algebraische Struktur
	R) Eine Lie-Algebra
	benannt nach Sophus Lie
	"Verbergen") 1 Definition 2 Beispiele 2.1 Aus der Algebra 2.2 Glatte Vektorfelder 2.3 Lie-Algebra einer Lie-Gruppe 2.4 Glatte Funktionen mit der Poissonklammer 2.5 Homomorphismem 2.6 Unteralgebra 2.7 Ideal 2.8 Satz von Ado 3 Typen von Lie-Algebren 3.1 Abelsche Lie-Algebra 3.2 Nilpotente Lie-Algebra 3.3 Satz von Engel 3.4 AuflÃ¶sbare Lie-Algebra 3.5 Einfache Lie-Algebra 3.6 Halb-einfache Lie-Algebra 3.7 Satz von Weyl 3.8 Klassifikation 3.9 reelle Lie-Algebren 4 Zusammenhang zu Lie-Gruppen [Bearbeiten]
	Lie-Algebra berÃ¼hrt die Spezialgebiete Mathematik Lineare Algebra Lie-Gruppen Physik Eichtheorie ist Spezialfall von Vektorraum Beispiele sind R3 mit Kreuzprodukt assoziative Algebra mit Kommutator glatte Vektorfelder auf einer glatten Mannigfaltigkeit spezielle lineare Lie-Algebra\|sl(n
Definition
	Eine Lie-Algebra ist ein Vektorraum g Ã¼ber einem KÃ¶rper K zusammen mit einer VerknÃ¼pfung <math>[cdot
	y)longmapsto [x
	y]<math> welche Lie-Klammer genannt wird
	das heiÃŸt linear in beiden Argumenten
	und den folgenden Bedingungen genÃ¼gt: Sie ist bilinear
	quad (x
	cdot]:gtimes glongrightarrow g
	z in g
	z]
	Es gilt somit <math>[a x + b y
	<math> und <math>[z
	y]
	a x + b y] = a [z
	<math> Sie genÃ¼gt der Jacobi-IdentitÃ¤t
	x] + b [z
	bin K
	<math> und alle <math>x
	z] = a [x
	<math> fÃ¼r alle <math>a
	y
	z] + b [y
	[x
	[y
	Die Jacobi-IdentitÃ¤t lautet <math> [x
	[z
	y aus g
	x]] +[z
	x] fÃ¼r alle x
	y] = âˆ’ [y
	y
	<math>. Die erste und dritte Eigenschaft implizieren zusammengenommen die Antisymmetrie [x
	<math> gilt fÃ¼r alle <math> x
	x] = 0<math> fÃ¼r alle <math>xin g
	y]]=0
	z]]+ [y
	auÃŸer wenn K die Charakteristik 2 hat
	zin g
	<math>. Es gilt <math>[x
	z]] sein. [Bearbeiten]
	y]
	Lie-Klammern sind im allgemeinen nicht assoziativ: [[x
	z] muss nicht gleich [x
	[y
Beispiele
	[Bearbeiten]
Aus der Algebra
	wenn man die Lie-Klammer als Kreuzprodukt definiert
	Die Lie-Algebra sl(2
	C) Der Euklidische Vektorraum R3 bildet eine Lie-Algebra
	Eine assoziative Algebra A mit einer Multiplikation * kann zu einer Lie-Algebra gemacht werden
	indem man [x
	y] = x * y âˆ’ y * x definiert
	Eine so definierte Lie-Klammer heiÃŸt Kommutator von x und y
	dass sich jede Lie-Algebra als eingebettet in eine assoziative Algebra mit einem Kommutator auffassen lÃ¤sst
	Umgekehrt kann man zeigen
	R) aller n-mal-n Matrizen mit reellen Elementen und Determinante 1
	Als konkretes Beispiel betrachten wir die Lie-Gruppe SL(n
	und die Matrizen-Multiplikation der Lie-Gruppe liefert Ã¼ber den Kommutator die Lie-Klammer der Lie-Algebra
	Der Tangentialraum der Einheitsmatrix kann mit dem Raum aller reellen n-mal-n Matrizen mit Spur 0 identifiziert werden
	Allgemeine lineare Lie-Algebra [Bearbeiten]
Glatte Vektorfelder
	Die glatten Vektorfelder auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit bilden eine unendlich-dimensionale Lie-Algebra
	Die Vektorfelder operieren als Lie-Ableitung auf dem Ring der glatten Funktionen
	Seien X
	Y zwei glatte Vektorfelder und f eine glatte Funktion
	Wir definieren die Lie-Klammer durch [X
	Y] f = (XY âˆ’ YX) f. [Bearbeiten]
Lie-Algebra einer Lie-Gruppe
	Der Vektorraum der linksinvarianten Vektorfelder auf einer Lie-Gruppe ist unter dieser Kommutatoroperation abgeschlossen und bildet eine endlich-dimensionale Lie-Algebra. [Bearbeiten]
Glatte Funktionen mit der Poissonklammer
	Die glatten Funktionen auf einer Symplektischen Mannigfaltigkeit
	bilden mit der Poissonklammer eine Lie-Algebra
	Vergleiche Poisson-Mannigfaltigkeit. [Bearbeiten]
Homomorphismem
	!<math> und <math>h
	Seien <math>g
	!<math> zwei Lie-Algebren
	Eine lineare Abbildung <math>varphi:glongrightarrow h<math> heiÃŸt Lie-Algebra-Homomorphismus
	y])<math> fÃ¼r alle <math>x
	yin g<math> gilt
	varphi(y)]=varphi([x
	wenn <math>[varphi(x)
	In der Kategorie der Lie-Algebren sind die Lie-Algebren die Objekte und die Lie-Algebra-Homomorphimen die Pfeile. [Bearbeiten]
Unteralgebra
	Eine Unteralgebra einer Lie-Algebra g ist ein Untervektorraum <math>hleq g<math>
	der abgeschlossen unter der Lie-Klammer ist
	y]in h<math>
	yin h<math> gilt <math>[x
	Das heiÃŸt fÃ¼r alle <math>x
	Eine Unteralgebra ist selbst eine Lie-Algebra. [Bearbeiten]
Ideal
	die Quotienten-Algebra
	!<math> eine Lie-Algebra definiert
	y]in i<math> fÃ¼r alle <math>xin g<math> und <math>yin i<math> gilt. Die Ideale sind genau die Kerne der Lie-Algebra-Homomorphismen. Auf dem Quotientenraum <math>g/i
	Eine Unteralgebra <math>ileq g<math> heiÃŸt Ideal
	wenn <math>[x
	y]+i
	!<math> wird durch <math>[x+i
	y+i]:=[x
	yin g<math>. [Bearbeiten]
	Dabei waren <math>x
Satz von Ado
	n) ist
	Der Satz von Ado besagt
	dass jede endlichdimensionale komplexe Lie-Algebra Unteralgebra der GL(C
	Das heiÃŸt man kann jede endlichdimensionale komplexe Lie-Algebra als eine Lie-Algebra von Matrizen darstellen. [Bearbeiten]
Typen von Lie-Algebren
	[Bearbeiten]
Abelsche Lie-Algebra
	wenn die Lie-Klammer identisch Null ist. Jeder Vektorraum bildet eine abelsche Lie-Algebra
	wenn man jede Lie-Klammer als Null definiert. [Bearbeiten]
	Eine Lie-Algebra ist abelsch
Nilpotente Lie-Algebra
	Sei g eine Lie-Algebra
	;;;{rm etc.} <math> Eine Lie-ALgebra heiÃŸt nilpotent
	;;; g^2=[g^1
	;;; g^1=[g^0
	;;; g^3=[g^2
	g^0]
	Wir definieren die absteigende Zentralreihe durch: <math> g^0=g
	g^2]
	wenn ihre absteigende Zentralreihe stationÃ¤r wird
	g^1]
	es gibt ein <math> nin{mathbb N} <math> so dass <math>g^j=g^n
	Das bedeutet
	<math> fÃ¼r alle <math>j> n <math> ist. [Bearbeiten]
Satz von Engel
	quad ylongmapsto [x
	<math> ist nilpotent FÃ¼r jedes <math> x in g <math> ist <math>{rm ad}(x):glongrightarrow g
	dann sind die beiden folgenden Aussagen Ã¤quivalent: Die Lie-Algebra <math> g
	Sei g eine endlichdimensionale komplexe Lie-Algebra
	y] <math> eine nilpotente lineare Abbildung. [Bearbeiten]
AuflÃ¶sbare Lie-Algebra
	Sei g eine Lie-Algebra
	g^{(1)}]
	g^{(0)}]
	wenn ihre abgeleitete Reihe stationÃ¤r wird
	;;;; {rm etc.} <math> Eine Lie-ALgebra heiÃŸt auflÃ¶sbar
	Wir definieren die abgeleitete Reihe durch: <math> g^{(0)}=g
	;;; g^{(3)}=[g
	;;; g^{(1)}=[g
	;;; g^{(2)}=[g
	g^{(2)}]
	<math> fÃ¼r alle <math> j> n <math> ist. Eine maximale auflÃ¶sbare Unteralgebra heiÃŸt Borel-Unteralgebra. [Bearbeiten]
	es gibt ein <math> nin{mathbb N} <math> so dass <math>g^{(j)}=g^{(n)}
	Das bedeutet
Einfache Lie-Algebra
	Eine Lie-Algebra heiÃŸt einfach
	wenn sie kein nicht-triviales Ideal hat und nicht abelsch ist
	Bei den Lie-Algebren wird Einfachheit abweichend verwendet
	Dies kann zu Verwirrungen fÃ¼hren
	so ist die Forderung
	Wenn man eine Lie-Algebra als algebraische Struktur auffasst
	unnatÃ¼rlich. [Bearbeiten]
	dass sie nicht abelsch sein darf
Halb-einfache Lie-Algebra
	Eine Lie-Algebra g heiÃŸt halb-einfach
	wenn sie die direkte Summe von einfachen Lie-Algebren ist
	FÃ¼r eine endlichdimensionale Lie-Algebra g sind die folgenden Aussagen Ã¤quivalent: g ist halb-einfach. Das Radikal von g verschwindet. Die Killing-Form :K(u
	v) = tr(ad(u)ad(v)) ist nicht-entartet ist (tr bezeichnet die Spur von Matrizen). [Bearbeiten]
Satz von Weyl
	dann ist jede endlichdimensionale Darstellung von g vollstÃ¤ndig reduzibel. [Bearbeiten]
	Sei g eine halbeinfache endlichdimensioanel komplexe Lie-Algebra
Klassifikation
	Halbeinfache komplexe Lie-Algebren kÃ¶nnen anhand ihrer Wurzelsysteme klassifiziert werden; diese Klassifikation wurde 1900 von Elie Cartan abgeschlossen. [Bearbeiten]
reelle Lie-Algebren
	b]=a 3 dimensionale: R^3 Heisenberg-Algebra su(2)=so(3
	C)=so(3
	R) 4 dimensionale: 5 dimensionale: 6 dimensionale: sl(2
	1) [Bearbeiten]
	R) sl(2
	Eine Auswahl reeller Lie-Algebren 1 dimensionale: R 2 dimensionale: R^2 [a
Zusammenhang zu Lie-Gruppen
	aber nicht global isomorph (siehe Karten der SO(3)). en:Lie algebra es:Ã?lgebra de Lie fr:AlgÃ¨bre de Lie it:Algebra di Lie ja:ãƒªãƒ¼ç’°
	nÃ¤mlich R3 mit dem Kreuzprodukt und sind deshalb lokal
	Zum Beispiel haben die Gruppen SO(3) (orthogonale 3Ã—3 Matrizen mit Determinante 1) und SU(2) (unitÃ¤re 2Ã—2 Matrizen mit Determinante 1) dieselbe Lie-Algebra

Dieser Artikel basiert auf dem Artikel Lie-Algebra aus der freien Enzyklopädie wikipedia und steht unter der GNU Lizenz für freie Dokumentation. In der wikipedia ist eine Liste der Autoren verfügbar.

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Allgemein

Definition

Beispiele

Aus der Algebra

Glatte Vektorfelder

Lie-Algebra einer Lie-Gruppe

Glatte Funktionen mit der Poissonklammer

Homomorphismem

Unteralgebra

Ideal

Satz von Ado

Typen von Lie-Algebren

Abelsche Lie-Algebra

Nilpotente Lie-Algebra

Satz von Engel

AuflÃ¶sbare Lie-Algebra

Einfache Lie-Algebra

Halb-einfache Lie-Algebra

Satz von Weyl

Klassifikation

reelle Lie-Algebren

Zusammenhang zu Lie-Gruppen