Stichpunkte

Allgemein
	auch bekannt als Zorns Lemma oder Kuratowski-Zorn-Lemma oder das Zorn'sche Lemma
	Das Lemma von Zorn
	ist ein Theorem der Mengenlehre
	enthält mindestens ein maximales Element. Es ist benannt nach dem Mathematiker Max Zorn
	<=) eine halbgeordnete Menge
	der es 1935 entdeckte. (Unabhängig von der Entdeckung durch Kuratowski 1922.) Die verwendeten Begriffe sind die folgenden: Sei (P
	in der jede Kette (d.h. jede total geordnete Teilmenge) eine obere Schranke hat
	Dieses Lemma besagt: Jede nicht leere halbgeordnete Menge
	oder total geordnet
	Eine Teilmenge T heißt Kette
	wenn für alle s
	t in T gilt s<=t oder t<=s
	Eine solche Teilmenge T hat eine obere Schranke o in P
	falls t<=o für alle t in T
	Beachte
	dass o nicht in T liegen muss
	Ein maximales Element von P ist ein Element m
	dass m=x ist. [Bearbeiten]
	für welches es kein größeres Element in P gibt: Aus m<=x mit x in P folgt
Verwendung
	d.h. man kann mit einem dieser drei Sätze zusammen mit der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre die beiden anderen beweisen
	Wie auch der Wohlordnungssatz ist Zorns Lemma äquivalent zum Auswahlaxiom
	nach dem man lineare Funktionale fortsetzen kann
	dass jeder Vektorraum eine Basis hat
	Zorns Lemma wird in vielen wichtigen Beweisen benutzt
	den Satz
	das Hahn-Banach-Theorem in der Funktionalanalysis
	Tychonoffs Theorem
	dass jeder Ring mit 1 ein maximales Ideal hat
	zum Beispiel für den Satz
	dass jedes Produkt kompakter Räume selbst kompakt ist
	den Satz
	dass jeder Körper einen algebraischen Abschluss hat. [Bearbeiten]
Ein Beispiel der Anwendung
	dass jeder Ring mit 1 ein maximales Ideal hat
	Wir beweisen als typische Anwendung des Lemmas von Zorn
	Die Menge P besteht hier aus allen (beidseitigen) Idealen in R
	mit Ausnahme von R selbst
	Diese Menge ist bezüglich der Mengeninklusion halbgeordnet
	denn das ist ein Ideal ungleich R
	dann sind wir fertig
	Wenn wir ein maximales Element dieser Menge finden können
	also ein maximales Ideal
	für das es kein größeres Ideal in R gibt
	dass sie eine obere Schranke hat
	Um Zorns Lemma anwenden zu können
	nehmen wir eine totalgeordnete Teilmenge T von P und müssen zeigen
	also ein Ideal I in R existiert
	das alle Ideale in T enthält aber ungleich R ist (sonst wäre es nicht in P)
	Wir wählen I als die Vereinigung aller Elemente von T
	K in T
	dann gibt es Ideale J
	I ist ein Ideal
	so dass a in J und b in K liegt
	denn sind a und b Elemente von I
	wir können ohne Einschränkung annehmen
	liegt eins der beiden Ideale im anderen
	dass J in K enthalten ist
	Da T totalgeordnet ist
	Dann sind a und b beide in K
	also liegen a+b und für jedes r in R auch ra und ar in K und damit in I
	Somit ist also I tatsächlich ein Ideal von R
	und umgekehrt liegt mit der 1 auch jedes Element der Form r1 im Ideal
	also warum ist I ungleich R? Dazu müssen wir wissen
	genau dann wenn es die 1 enthält. (R enthält die 1
	Warum liegt nun I in P
	aber R wurde explizit aus P ausgeschlossen
	dass ein Ideal gleich R ist
	dann müsste es ein Ideal in T geben
	das die 1 enthält
	also ganz R.) Wäre nun also I gleich R
	und das wäre gleich R
	Da die Voraussetzungen für Zorns Lemma erfüllt sind
	erhalten wir die Existenz eines maximalen Elements in P
	und das ist ein maximales Ideal von R
	Dieser Beweis benötigt die Voraussetzung
	dass der Ring eine 1 hat
	Ohne das wäre er nicht durchführbar und tatsächlich wäre die Behauptung falsch. [Bearbeiten]
Beweis von Zorns Lemma mit dem Auswahlaxiom
	Zuletzt geben wir noch eine Beweisskizze des Lemmas von Zorn
	das Lemma wäre falsch
	Angenommen
	in der jede totalgeordnete Teilmenge eine obere Schranke hätte
	aber trotzdem jedes Element ein größeres hätte (es gäbe kein maximales Element in P)
	Dann gäbe es eine halbgeordnete Menge P
	das größer ist als jedes Element in T
	Für jede totalgeordnete Teilmenge T definieren wir nun ein Element b(T)
	indem wir eine obere Schranke von T nehmen und b(T) auf ein Element setzen
	das noch größer ist als diese Schranke
	Um b hierdurch als Funktion definieren zu können
	welche obere Schranke und welches größere Element wir nehmen)
	benötigen wir das Auswahlaxiom (denn wir sagen nicht
	Mit dieser Funktion b bestimmen wir dann Elemente a0 < a1 < a2 < a3 < ... in P
	sondern alle Ordinalzahlen! Diese Folge ist zu lang für die Menge P
	denn es gibt mehr Ordinalzahlen als Elemente in irgendeiner Menge enthalten sein können
	und so erhalten wir einen Widerspruch
	Diese Folge wird wirklich lang: Die Indizes sind nicht nur alle natürlichen Zahlen
	und für jede andere Ordinalzahl w setzen wir aw:=b({av | v<w}). Das geht
	also selbst nicht leer ist)
	Die av definieren wir durch transfinite Induktion: Wir wählen a0 beliebig aus P (das geht
	da die av durch diese Konstruktion totalgeordnet sind
	da P eine obere Schranke der leeren Menge enthält
	und die Vergleichbarkeit mit einem beliebigen Element kommt als Folgerung hinzu.) en:Zorn's lemma es:Lema de Zorn fr:Lemme de Zorn he:הלמה של צורן it:Lemma di Zorn ja:ツォルン�補題 pl:Lemat Kuratowskiego-Zorna sl:Zornova lema
	also mit x vergleichbar. (Jede wohlgeordnete Menge ist totalgeordnet
	das größer-gleich x ist
	Der Beweis zeigt sogar eine etwas stärkere Version von Zorns Lemma (weniger Voraussetzung und mehr Folgerung): Ist P eine halbgeordnete Menge in der jede wohlgeordnete Teilmenge eine obere Schranke hat
	dann hat P ein maximales Element
	und ist x in P

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