Stichpunkte

Allgemein
	normierter Raum berührt die Spezialgebiete Mathematik Lineare Algebra Geometrie Analysis Funktionalanalysis hat die Eigenschaften von topologischer Raum parakompakter Hausdorff-Raum metrischer Raum Vektorraum topologischer Vektorraum umfasst als Spezialfälle Innenproduktraum Euklidischer Raum reelle Zahlen Unitärer Raum komplexe Zahlen Banachraum Hilbertraum Der mathematische Begriff der Norm ist die Verallgemeinerung des geometrischen Begriffs der Länge eines Vektors
	auf dem eine Norm definiert ist. Inhaltsverzeichnis showTocToggle("Anzeigen"
	nichtnegative Zahl zuordnet und eine Reihe weiterer Eigenschaften erfüllt. Ein normierter Vektorraum oder kurz normierter Raum ist ein Vektorraum
	Eine Norm ist eine Funktion
	"Verbergen") 1 Formale Definition 2 Einordnung 3 Betragsnormen 4 Vektornormen 4.1 p-Normen 4.2 lp-Normen 4.3 Lp-Normen 5 Operatornormen 5.1 Matrixnormen [Bearbeiten]
	die jedem Element eines Vektorraums eine reelle
Formale Definition
	Sei V ein Vektorraum über dem Körper K der reellen oder komplexen Zahlen
	y aus V und alle Skalare α aus K die folgenden axiomatische Bedingungen erfüllt sind: (i) ||x|| ≥ 0 (Positivität); (ii) ||x|| = 0 ⇒ x = 0 (Definitheit); (iii) ||α·x|| = |α|·||x|| (Homogenität); (iv) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| (die Dreiecksungleichung). Ein Vektorraum mit einer Norm heißt normierter Vektorraum oder normierter Raum
	Funktion ||·||: V → R heißt Norm auf V
	wenn für alle Vektoren x
	dann ist ||·|| nur eine Halbnorm (auch: Pseudonorm)
	Bemerkungen: Aus Bedingung (iii) folgt ||0||=0 (weshalb man in (ii) auch ⇔ statt ⇒ schreiben könnte) und ||-x||=||x||. Wenn auf die Definitheit (Axiom ii) verzichtet wird
	Aus einem Raum mit Halbnorm erhält man einen normierten Raum als Faktorraum. [Bearbeiten]
Einordnung
	Jede Norm induziert eine Metrik d(x
	und damit auch ein topologischer Raum und ein Hausdorff-Raum
	y) := ||x - y||. Damit ist jeder normierte Raum auch ein metrischer Raum
	muss aber nicht durch ein inneres Produkt (Skalarprodukt) <·
	Eine Norm kann
	·> definiert sein
	Jeder Innenproduktraum ist mit ||x|| := √<x
	x> ein normierter Raum
	wenn in ihm jede Cauchyfolge konvergiert (das schließt ein
	dass der Grenzwert der Cauchyfolge sich in diesem Raum befindet)
	Ein normierter Raum heißt vollständig
	und ein vollständiger normierter Innenproduktraum heißt Hilbertraum. [Bearbeiten]
	Ein vollständiger normierter Raum heißt Banachraum
Betragsnormen
	Normen auf Körpern (siehe z.B. p-adische Zahlen) sind die absoluten Beträge. [Bearbeiten]
Vektornormen
	[Bearbeiten]
p-Normen
	ldots
	n ist die Dimension des Vektorraums und |xi| der Absolutbetrag der i-ten Vektor-Komponente
	n} <math> Dabei ist p eine reelle Zahl größergleich 1
	Für endlichdimensionale Räume sind die so genannten p-Normen definiert als: <math> ||x||_p := left(sum_{i=1}^n |x_i|^pright)^{1/p} <math> <math> ||x||_infty := max{|x_i|: i=1
	Die aus diesen Normen abgeleiteten Metriken heißen auch Minkowski-Metriken
	y)
	Zur Veranschaulichung betrachten wir zweidimensionale Vektoren r=(x
	Die Menge aller r mit ||r||=1 bildet einen verallgemeinerten Einheitskreis
	y)||1 = |x| + |y| heißt auch Betragssummennorm; die von ihr abgeleitete Metrik heißt auch Manhattan-Metrik (da sie den Abstand zweier Punkte wie die Fahrtstrecke in einem Schachbrett-Stadtplan misst)
	Mit den Normen zu p=1
	p=2 und p=∞ ergeben sich in einem kartesischen Koordinatensystem die Graphen: p = 1 p = 2 p = ∞ Die 1-Norm ||(x
	Nur in der 2-Norm ||(x
	was man sich im gewöhnlichen Sprachgebrauch unter einem Kreis vorstellt
	y)||2 = √(x² + y²) entspricht der verallgemeinerte Einheitskreis dem
	In diesem gilt die allgemeine Kreisgleichung x² + y² = r²
	Die von ||·||2 definierte Metrik d2 entspricht dem Abstand zweier Punkte in der Euklidischen Ebene
	Die 2-Norm wird deshalb auch Euklidische Norm genannt und ein Vektorraum mit der 2-Norm heißt Euklidischer Raum
	|y|} heißt auch Maximumnorm. [Bearbeiten]
	y)||∞ = max{|x|
	Die Norm zu p=∞ ||(x
lp-Normen
	Die "lp-Normen" sind eine Verallgemeinerung der p-Normen auf spezielle unendlichdimensionale Vektorräume
	Betrachte die Menge RN aller reellen Zahlenfolgen
	qquad p in [1
	Für eine reelle Zahl p ≥ 1 bzw. das Symbol p = ∞ betrachten wir die Teilmenge &lt;math&gt; l_p&nbsp;:= { (a_n) in mathbb{R}^mathbb{N}&nbsp;: sum_{n=0}^infty |a_n|^p < infty }
	infty) &lt;math&gt; &lt;math&gt; l_infty&nbsp;:= { (a_n) in mathbb{R}^mathbb{N}&nbsp;: sup_{nin mathbb{N}} |a_n| < infty } &lt;math&gt; aller "in p-ter Potenz summierbaren Folgen" bzw. aller beschränkten Folgen
	Dies sind R-Vektorräume
	Auf diesen Mengen definiert man die so genannte lp-Norm: &lt;math&gt; |(a_n)|_p&nbsp;:= sqrt[p]{sum_{n=0}^infty |a_n|^p} &lt;math&gt; &lt;math&gt; |(a_n)|_infty&nbsp;:= sup_{ninmathbb{N}} |a_n| &lt;math&gt; Mit diesen Normen werden die lp zu (vollständigen?) normierten Räumen. [Bearbeiten]
Lp-Normen
	Die Definition der Lp-Räume und -Normen wird hier nur kurz angerissen
	ausführlichere Informationen dazu im Artikel Lp-Raum
	und darin die "in p-ter Potenz integrierbaren Funktionen" herausgreifen
	Analog zu den Folgenräumen kann man den Vektorraum der Funktionen von R nach R betrachten
	für die man so genannte Lp-Normen definiert
	Das ist jedoch erstmal nur eine Pseudonorm
	da ||f|| = 0 nicht ausschließlich für die Nullfunktion gilt
	auf dem die Lp-Norm dann eine Norm ist. [Bearbeiten]
	Man geht deshalb über zu einem Faktorraum (den man Lp nennt)
Operatornormen
	Für einen Operator f wird seine Operatornorm (anschaulich der größtmögliche Streckungsfaktor) bezüglich einer Vektornorm folgendermaßen definiert: &lt;math&gt;|f| = sup_{x in V} frac{|f(x)|}{|x|}&lt;math&gt; [Bearbeiten]
Matrixnormen
	so ist beispielsweise der Spektralradius einer Matrix (der betragsgrößte Eigenwert) immer kleiner als ihre Norm
	Für reelle oder komplexe Matrizen kann man die Operatornormen der entsprechenden linearen Abbildungen Ax für einige Vektornormen (hier die 1
	wobei &lt;math&gt;lambda_{max}&lt;math&gt; der betragsgrößte Eigenwert ist Zeilensummennorm &lt;math&gt;left| A right|_infty = max_i{sum_{j=1}^m left| a_{ij} right|}&lt;math&gt; Matrixnormen haben einige nützliche Eigenschaften
	welche Norm gewählt wurde
	unabhängig davon
	2 und Maximumsnorm) explizit angeben. Spaltensummennorm &lt;math&gt;left| A right|_1 = max_j{sum_{i=1}^n left| a_{ij} right|}&lt;math&gt; Spektralnorm &lt;math&gt;left| A right|_2 = sqrt{lambda_{max}(A^{T}cdot A)}&lt;math&gt;
	Sie werden insbesondere in der numerischen Mathematik benutzt
	Zusätzlich zu den oben genannten Normaxiomen erfüllen Matrixnormen immer die multiplikative Dreiecksungleichung: &lt;math&gt;|A cdot B| leq |A||B| &lt;math&gt; Es ist möglich
	jedoch nicht eine von einer Vektornorm herrührende Operatornorm sind
	Abbildungen auf dem Matrizenraum zu definieren
	die die Normeigenschaften sowie die multiplikative Dreiecksungleichung erfüllen
	Die bekannteste von diesen ist die Frobeniusnorm: &lt;math&gt;|A|_{F} = sqrt{sum_{i
	wobei &lt;math&gt;lambda_i&lt;math&gt; die Eigenwerte von A sind. en:Normed vector space fr:Espace vectoriel normé he:נורמה (מתמטיקה) ja:ノルム線型空間 ru:Ð?ормированное проÑ?транÑ?тво
	j}|a_{ij}|^{2}} = sqrt{operatorname{tr}left(A^H A right)}= sqrt{sum_{j=1}^n lambda_i left(A A^H right)}&lt;math&gt;

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