Stichpunkte

Allgemein
	Die Regel von L'Hospital (auch L'Hôpital geschrieben ) ermöglicht in der Mathematik die Berechnung bestimmter Grenzwerte
	Wenn für in einer Umgebung von s (wobei s eine beliebige reelle Zahl
	dass diese Regel auch mehrfach angewendet werden kann
	dann existiert auch der Grenzwert des Bruchs f(x)/g(x)
	falls der Grenzwert des Quotienten der Ableitungen wieder 0/0 ist
	und er ist gleich dem Grenzwert des Bruchs
	den man erhält
	indem man sowohl im Zähler als auch im Nenner die Ableitung nach x an der Stelle s berechnet: <math>lim_{xto s}{f(x)over g(x)}=lim_{xto s}{f'(x)over g'(x)} mbox{mit} lim_{xto s}{f(x)}=lim_{xto s}{g(x)}=0<math>. Beachte
	aber auch plus oder minus Unendlich sein kann) differenzierbare Funktionen f(x) und g(x) die Grenzwerte von f(x) und von g(x) für x->s existieren und beide Null sind oder der Nenner Unendlich ist
	Die Regel ist benannt nach Guillaume François Antoine
	der sie aus einem Kurs von Johann Bernoulli übernahm und 1696 im ersten Lehrbuch der Differentialrechnung veröffentlichte. [Bearbeiten]
	Marquis de L'Hospital (1661-1704)
Beispiele
	(0:0): <math>lim_{x to 0}{cos(x)-1over tan(x)} = lim_{x to 0}{(cos(x)-1)'over tan(x)'} = lim_{x to 0}{-sin(x)over 1/cos(x)^2}= {-sin(0)over 1/cos(0)^2} = {0over 1} = 0<math> (0:0): <math> lim_{x to 0} frac{sin(x)}{x} = lim_{x to 0} frac{cos(x)}{1} = frac{1}{1} = 1 <math> (∞/∞): <math> lim_{x to infty} frac{sqrt{x}}{ln(x)} = lim_{x to infty} frac{frac{1}{2 sqrt{x}}}{frac{1}{x}} = lim_{x to infty} frac{sqrt{x}}{2} = infty <math> [Bearbeiten]
Beweis
	Der geläufigste Beweis der Regeln von L'Hôpital benützt den Mittelwertsatz von Cauchy
	dann gilt <math> lim_{hto 0}{f'(c_h)over g'(c_h)} = lim_{xto c}{f'(x) over g'(x)} = lim_{hto 0}{f(c+h) over g(c+h)} = lim_{xto c}{f(x) over g(x)} <math> Deswegen <math> lim_{xto c}{f'(x)over g'(x)} = lim_{xto c}{f(x) over g(x)}. <math> [Bearbeiten]
	<math> {f'(c_h)over g'(c_h)} = {f(c + h)over g(c + h)} <math> Wenn <math>h to 0<math>
	Danach gibt es eine Konstante &lt;math&gt;c_h&lt;math&gt; in dem Intervall &lt;math&gt;c < c_h < c + h &lt;math&gt; sodass gilt: &lt;math&gt; {f'(c_h) over g'(c_h)} = {{f(c + h) - f(c) over h} over {g(c + h) - g(c) over h}} = {f(c + h) - f(c) over g(c + h) - g(c)} &lt;math&gt; Da &lt;math&gt;f(c) = g(c) = 0&lt;math&gt;
Siehe auch
	Mathematik für die Schule en:L'Hôpital's rule es:Regla de L'Hôpital fr:Règle de L'Hôpital nl:Regel van L'Hôpital pl:ReguÅ‚a de l'Hospitala ru:Правило ЛопиталÑ?

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