Stichpunkte

Allgemein
	die seine Bahn beeinflussen könnten
	dass keine äußeren Kräfte auf das Teilchen einwirken
	Die kovariante Ableitung ist ein krummliniger Differentialoperator zur Berechnung von Bewegungsbahnen eines freien Teilchens in einer gekrümmten Raumzeit. Frei heißt in diesem Zusammenhang
	Die Gravitation ist in diesem Sinne keine Kraft
	gibt also die Bahnen vor
	die auf das Teilchen wirkt
	entlang der sich ein Teilchen bewegen kann
	sie drückt sich in der Krümmung der Raumzeit aus
	Die kovariante Ableitung geht im flachen Raum der Speziellen Relativitätstheorie in die partielle Ableitung über. [Bearbeiten]
Physikalische Motivation
	Es gilt <math>frac{Du^mu}{dtau} = 0<math> für den kovarianten Differentialoperator D (der noch zu definieren ist)
	In der Newtonschen Mechanik gilt die Bedingung <math> frac{d u^k}{dt} = 0<math> für die Komponenten des Geschwindigkeits-Vektors <math>vec{u}<math> eines freien Teilchens
	d.h. das Teilchen bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit
	so dass man zwischen dt und <math>dtau<math> nicht unterscheiden muss
	In diesem Teil der Physik ist die Zeit t gleich der Eigenzeit <math>tau<math> eines Teilchens
	Man erkennt
	und die Newtonsche Ableitung
	angewandt auf den Geschwindigkeits-Vektor eines freien Teilchens beide den Wert Null ergeben
	dass die kovariante Ableitung
	differenziert nach der Zeit t
	differenziert nach der Eigenzeit <math>tau<math>
	Der Unterschied besteht darin
	dass die Bewegung eines freien Teilchens in der Newtonschen Mechanik den Einfluss eines Gravitationsfeldes ausschließt
	während die kovariante Ableitung die Bewegung eines freien Teilchens in einer gekrümmten Raumzeit beschreibt
	deren Krümmung Gravitation hervorruft
	während der Geschwindigkeitsvektor der Relativitätstheorie aus vier Komponenten besteht. (vgl. das Kapitel über Vierervektoren) [Bearbeiten]
	Ein weiterer Unterschied besteht darin
	dass der Geschwindigkeitsvektor in der Newtonschen Mechanik drei Komponenten hat
Die Ableitung im Einzelnen
	In die Definition der kovarianten Ableitung gehen die Christoffelsymbole ein
	und <math>frac{d x^mu}{d tau}<math> die Komponente <math>mu<math> des Geschwindigkeitsvektors <math>(u^i)<math>
	nu}* frac{d x^mu}{d tau} * frac{d x^nu}{d tau}<math> Der Ausdruck <math>frac{d x^kappa}{d tau}<math> beschreibt die Komponente <math>kappa<math> des Geschwindigkeitsvektors <math>(u^i) <math>
	wenn man von der Bewegungsgleichung eines freien Teilchens im Gravitationsfeld ausgeht
	Man kann sich die kovariante Ableitung plausibel machen
	wie sie in dem Artikel über Christoffelsymbole hergeleitet wurde: <math>frac{d^2 x^kappa}{d tau^2}=-Gamma^kappa{}_{mu
	Daher kann man diese Gleichung folgendermaßen schreiben: <math>frac{d u^kappa}{d tau}=-Gamma^kappa{}_{mu
	nu}* u^mu * d x^nu <math> Für das weitere Vorgehen benötigt man Aussagen aus der Differentialgeometrie
	wie mit Ausdrücken der Form <math>du^kappa<math> verfahren werden kann
	nu}* u^mu * frac{d x^nu}{d tau}<math> Multipliziert man diese Gleichung formal mit <math>d tau<math>
	so erhält man: <math>d u^kappa=-Gamma^kappa{}_{mu
	Es handelt sich um ein totales Differential
	Der Geschwindigkeitsvektor <math>(u^mu)<math> hängt ab von den Koordinaten <math> x^k <math> des Ortsvektors <math>(x^mu)<math>
	er kann die Werte 0
	3 annehmen
	1
	2
	an jedem Ort kann das Teilchen eine andere Geschwindigkeit haben. <math>d u^kappa=frac{partial u^k}{partial x^nu} d x^nu<math> Dabei wird über den Index <math>nu<math> summiert
	d.h.
	dass <math>D u^mu=0<math> als Bedingung für die Bewegungsbahn eines freien Teilchens im Gravitationsfeld erfüllt sein muss. <math>frac{Du^mu}{dx^nu}=(frac{partial u^k}{partial x^nu} + Gamma^kappa{}_{mu
	nu} * u^mu)* d x^nu <math> Der Ausdruck <math>Du^mu=(frac{partial u^k}{partial x^nu} + Gamma^kappa{}_{mu
	nu} * u^mu) *dx^nu<math> beschreibt das kovariante Differential D. Aus dem vorhergehenden folgt
	dass die kovariante Ableitung in die partielle Ableitung übergeht
	und man sieht
	Umstellen der Gleichung mit den Christoffelsymbolen liefert <math>0 =(frac{partial u^k}{partial x^nu} + Gamma^kappa{}_{mu
	nu} * u^mu) <math> heißt kovariante Ableitung (oder kovariantes Differential) von <math>u^mu<math> nach <math>x^nu<math> Im flachen Raum der speziellen Relativitätstheorie verschwinden die Christoffelsymbole
	Die vorangehende Ableitung wurde im Rahmen der klassischen Differentialgeometrie vorgenommen
	Sie dient dazu
	die kovariante Ableitung plausibel zu machen
	allerdings muss man sich vorher mit der dort verwendeten Terminologie vertraut machen. en:Covariant derivative
	Es gibt einen streng mathematischen Zugang in der Theorie der differenzierbaren Mannigfaltigkeiten

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