Stichpunkte

Allgemein
	kompakter Raum berührt die Spezialgebiete Mathematik Topologie Analysis ist Spezialfall von topologischer Raum parakompakter Raum Lindelöf-Raum umfasst als Spezialfälle normaler Raum Kompaktheit ist eine rein topologische Eigenschaft
	die einem topologischen Raum zukommt oder nicht
	und die in vielen mathematischen Aussagen vorausgesetzt wird - oft auch in abgeschwächter Form als Lindelöf-Eigenschaft oder Parakompaktheit
	Lokale Kompaktheit ist dagegen eine weder über-
	noch untergeordnete Bedingung
	ob sie Teilmenge eines Oberraums ist oder nicht
	Eine kompakte Menge nennt man je nach Kontext auch Kompaktum oder kompakter Raum; dabei ist nicht erheblich
	Einfache Beispiele für kompakte Mengen sind abgeschlossene und beschränkte Teilmengen des Euklidischen Raums Rn wie das Intervall [0
	der n-dimensionale Hyperwürfel [0
	1] (bei n=1) oder dessen Verallgemeinerung
	1]n
	1)
	Einfache Gegenbeispiele bilden die nicht kompakten Mengen N oder [0
	Der Begriff Beschränktheit setzt jedoch eine Metrik voraus
	"Verbergen") 1 Definition 2 Beispiele 3 Eigenschaften 4 Andere Formen von Kompaktheit [Bearbeiten]
	Kompaktheit kann man dagegen in einer abstrakteren Weise definieren
	die nicht mehr als eine beliebige Topologie voraussetzt. Inhaltsverzeichnis showTocToggle("Anzeigen"
Definition
	Eine Teilmenge M eines topologischen Raums E heißt kompakt
	dass die Teilüberdeckung endlich sein muss
	wenn aus jeder vorgegebenen offenen Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung ausgewählt werden kann. Bemerkungen: Nichttrivial ist an dieser Definition allein die Forderung
	Darin liegt zugleich eine wesentliche Motivation für die Einführung des Begriffs Kompaktheit: kompakte Räume verhalten sich in mancher Hinsicht wie endliche Mengen
	der kompakt in sich selbst ist (M als kompakte Teilmenge von M)
	ist auch kompakt in jedem Oberraum von M
	Ein topologischer Raum M
	Umgekehrt ist jede kompakte Teilmenge auch kompakt in sich selbst
	eine kompakte Menge M ohne Bezug auf einen Oberraum als kompakten Raum zu bezeichnen
	Das rechtfertigt es
	wie in der Einleitung vorweggenommen
	dass kompakte Räume nicht zwingend Hausdorff-Räume sind. [Bearbeiten]
	Einige Autoren verwenden für die hier definierte Eigenschaft den Begriff "quasikompakt" und reservieren den Begriff "kompakt" für kompakte Hausdorff-Räume; in der Wikipädie aber folgen wir der üblichen Praxis
Beispiele
	für jede Primzahl p. Für die natürliche Zahl p betrachte die Menge pN aller Folgen mit Werten aus {0
	p-1}
	1)). Die n-Kugel
	1
	Die folgenden Räume sind kompakt: Das geschlossene Einheits-Intervall [0
	für alle natürlichen Zahlen n. Die n-Sphäre
	1] (jedoch nicht das halboffene Intervall [0
	ebenfalls für alle natürlichen Zahlen n. Jeder beliebige endliche topologische Raum. Die Cantor-Menge. Die p-adischen ganzen Zahlen
	...
	so dass xk ≠ yk (falls es keinen solchen Index gibt
	wobei k der kleinste Index ist
	so sind die beiden Folgen identisch und man definiert ihren Abstand als Null)
	indem man d((xn)
	(yn)) = 1/(pk) definiert
	Man kann sie in einen metrischen Raum verwandeln
	eine Folgerung aus dem Satz von Tychonoff (siehe unten)
	Dann ist pN ein kompakter Raum
	...
	1
	nicht nur für {0
	Diese Konstruktion kann für jede endliche Menge durchgeführt werden
	p-1}
	Der entstehende metrische Raum ist dabei sogar ultrametrisch
	x_2
	dann ist die Abbildung <math>(x_1
	Verwandte Mengen sind folgende: Ist p=2
	...) mapsto 2 (x_1 3^{-1} + x_2 3^{-2} + x_3 3^{-3} + ...)<math> ein Homöomorphismus von 2N in die Cantor-Menge
	...) mapsto (x_1 p^{0} + x_2 p^{1} + x_3 p^{2} + ...)<math> ein Homöomorphismus von pN in die p-adischen ganzen Zahlen. Das Spektrum eines beliebigen stetigen linearen Operators auf einem Hilbertraum ist eine kompakte Teilmenge von C. Das Spektrum eines beliebigen kommutativen Ringes oder einer booleschen Algebra. Der Hilbert Würfel. Die folgenden Räume sind nicht kompakt: das halboffene Intervall [0
	Ist p eine Primzahl
	1). R selbst. Jedes echte Intervall (also mit mehr als einem Punkt) in Q. Die abgeschlossene Einheitskugel des Raumes <math>ell^infty = L^infty(mathbb{N};mathbb{R})<math> der beschränkten reellen Zahlenfolgen (siehe Lp-Raum)
	obwohl sie abgeschlossen und beschränkt ist. [Bearbeiten]
	x_2
	dann ist ist die Abbildung <math>(x_1
Eigenschaften
	Einige Sätze beziehen sich auf Kompaktheit (siehe Topologie-Glossar für Definitionen): Das Bild einer kompakten Menge unter einer stetigen Funktion ist kompakt
	Folglich nimmt eine stetige Funktion auf einem Kompaktum ein globales Minimum und ein globales Maximum an. Jede unendliche Folge <math>(a_n)_{n in mathbb N}<math> von Elementen einer kompakten Menge <math>K subset E<math> besitzt einen Häufungspunkt
	wenn er vollständig und total beschränkt ist. Das Produkt einer beliebigen Klasse von kompakten Räumen ist kompakt. (Satz von Tychonoff -- dies ist äquivalent zum Auswahlaxiom) Ein kompakter Hausdorff-Raum ist normal. Jede stetige bijektive Abbildung von einem kompakten Raum auf einen Hausdorff-Raum ist ein Homöomorphismus. Ein metrischer Raum ist kompakt genau dann
	der höchstens einen Punkt mehr besitzt als X. (Siehe auch Kompaktifizierung.) Ein metrischer Raum X ist kompakt genau dann
	in der jede Folge eine (in der Teilmenge) konvergente Teilfolge hat (eine solche Teilmenge heißt folgenkompakt
	wenn er ein Tychonoff Raum ist. Jeder topologische Raum X ist ein dichter Unterraum eines kompakten Raumes
	so dass jede Überdeckung des Raumes durch Elemente der Subbasis eine endliche Teilüberdeckung hat
	dann existiert eine Zahl δ > 0
	muss nicht kompakt sein. (Ein Beispiel bildet die Menge der abzählbaren Ordinalzahlen mit der Ordnungstopologie??) Eine abgeschlossene Teilmenge eines kompakten Raumes ist kompakt. Eine kompakte Teilmenge eines Hausdorff-Raumes ist abgeschlossen. Eine nicht-leere kompakte Teilmenge der reellen Zahlen hat ein größtes und ein kleinstes Element (siehe auch Supremum). Für jede Teilmenge M des euklidischen Raumes Rn sind die folgenden drei Aussagen äquivalent (vergleiche Satz von Heine-Borel): M ist kompakt
	so dass jede Teilmenge von X mit Durchmesser < δ in einem Element der Überdeckung enthalten ist. (Zahlen-Lemma von Lebesgue) Falls ein topologischer Raum eine Subbasis hat
	wenn jeder Filter auf dem Raum eine konvergente Verfeinerung besitzt. Ein topologischer Raum ist kompakt genau dann
	wenn jeder zu X homöomorphe metrische Raum vollständig ist. Falls der metrische Raum X kompakt ist und eine offene Überdeckung von X gegeben ist
	wenn jede Folge in dem Raum eine Teilfolge mit Grenzwert in dem Raum hat. Ein topologischer Raum ist kompakt genau dann
	wenn ihre Ringe von stetigen reell-wertigen Funktionen C(X1) und C(X2) isomorph sind. [Bearbeiten]
	siehe unten)
	wenn jedes Netz auf dem Raum ein Teilnetz hat
	das heißt jede offene Überdeckung von M hat eine endliche Teilüberdeckung. Jede Folge in der Menge M hat eine in M konvergente Teilfolge. Die Menge M ist abgeschlossen und beschränkt. Ein metrischer Raum ist kompakt genau dann
	das heißt eine Teilmenge
	so ist der Raum kompakt. (Alexanders Subbasis-Satz) Zwei kompakte Hausdorff-Räume X1 und X2 sind homöomorph genau dann
	das einen Grenzwert in dem Raum hat. Ein topologischer Raum ist kompakt genau dann
	Schärfer: Es existiert eine in <math>K<math> konvergente Teilfolge <math>(a_{n_i})_{i in mathbb N}<math>. (Satz von Bolzano-Weierstraß) Die Umkehrung gilt jedoch nicht in jedem topologischen Raum
	wenn jeder Ultrafilter auf dem Raum konvergiert. Ein topologischer Raum kann in einen kompakten Hausdorff-Raum eingebettet werden genau dann
Andere Formen von Kompaktheit
	Es gibt einige topologische Eigenschaften
	aber inäquivalent in allgemeinen topologischen Räumen
	die äquivalent zur Kompaktheit in metrischen Räumen sind
	Diese beinhalten die folgenden: Folgenkompakt: Jede Folge hat eine konvergente Teilfolge. Abzählbar kompakt: Jede abzählbare offene Abdeckung hat eine endliche Unterabdeckung. (Oder
	jede unendliche Teilmenge hat einen ω-Häufungspunkt.) Pseudokompakt: Jede reell-wertige stetige Funktion auf dem Raum ist beschränkt. Schwach abzählbar kompakt: Jede unendliche Teilmenge hat einen Häufungspunkt. Während diese Konzepte für metrische Räume äquivalent sind
	äquivalent
	gibt es im Allgemeinen folgende Beziehungen: Kompakte Räume sind abzählbar kompakt
	Folgenkompakte Räume sind abzählbar kompakt
	Abzählbar kompakte Räume sind pseudokompakt und schwach abzählbar kompakt. Siehe auch: Topologie-Glossar en:Compact space ja:コンパクト pl:PrzestrzeÅ„ zwarta ru:Компактное проÑ?транÑ?тво tr:Tıkızlık

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