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Dreieck

Stichpunkte

Allgemein
	Dieser Artikel behandelt den geometrischen Begriff Dreieck
	FÃ¼r weitere Bedeutungen siehe Dreieck (BegriffsklÃ¤rung). Ein Dreieck mit den ublichen Bezeichnungen mit Teilen eines Ankreises Ein Dreieck ist ein Polygon und eine geometrische Figur
	Es handelt sich innerhalb der Euklidischen Geometrie um die einfachste Figur in der Ebene
	die von geraden Linien begrenzt wird
	Seine Begrenzungslinien bezeichnet man als Seiten
	die sogenannten Innenwinkel auf
	In seinem Inneren spannen sich drei Winkel
	Die Scheitel dieser Winkel bezeichnet mal als Eckpunkte des Dreiecks
	Auch eine Verallgemeinerung des Dreiecksbegriffes auf nichteuklidische Geometrien ist mÃ¶glich. Inhaltsverzeichnis showTocToggle("Anzeigen"
	"Verbergen") 1 Das beliebige (allgemeine) Dreieck 1.1 Definition und Eigenschaften 1.2 Berechnung eines beliebigen Dreiecks 2 Dreiecksarten 2.1 Ãœbersicht der unterschiedlichen Arten von Dreiecken 2.2 Das gleichseitige Dreieck 2.2.1 Eigenschaften 2.2.2 Formeln 2.3 Das gleichschenklige Dreieck 2.3.1 Eigenschaften 2.4 Das rechtwinklige Dreieck 2.4.1 Eigenschaften 3 Dreiecke der Nichteuklidschen Geometrie 3.1 SphÃ¤rische Dreiecke 3.2 Hyperbolische Dreiecke 4 Oft auftretende DreiecksgrÃ¶ÃŸen 5 SÃ¤tze rund um das Dreieck 6 Weblinks [Bearbeiten]
Das beliebige (allgemeine) Dreieck
	[Bearbeiten]
Definition und Eigenschaften
	Ein Dreieck wird von drei Geraden
	eingeschlossen
	die nicht parallel zueinander liegen
	Es ist durch seine drei Eckpunkte definiert
	und durch drei die Eckpunkte geradlinig verbindende Seiten 'aufgespannt'
	die gleichzeitig die Schnittpunkte dieser drei Geraden sind
	Daneben ist der von je zwei an einem Eckpunkt zusammentreffenden Seiten gebildete Winkel eine wichtige GrÃ¶ÃŸe zur Charakterisierung des Dreiecks
	B und C bezeichnet
	In der Geometrie werden die Eckpunkte des Dreiecks in der Regel mit A
	wird analog a
	b bzw. c genannt
	Die Seite
	die einer Ecke gegenÃ¼berliegt
	verbindet also die Punkte B und C
	Damit liegt z.B. die Seite a dem Eckpunkt A gegenÃ¼ber
	β und γ genannt; α ist der Winkel am Eckpunkt A
	usw. Die Summe der Innenwinkel in einem planaren (ebenen) Dreieck betrÃ¤gt immer 180Â°
	Die Winkel werden α
	Die Summe der AuÃŸenwinkel betrÃ¤gt betrÃ¤gt entsprechend 360Â°
	Dabei wird fÃ¼r jeden Eckpunkt nur ein AuÃŸenwinkel in die Summe aufgenommen
	sind diese immer identisch groÃŸ
	Da es sich bei den beiden AuÃŸenwinkeln eines Eckpunktes um Scheitelwinkel handelt
	Die Summe aller AuÃŸenwinkel betrÃ¤gt demnach genau genommen 2 Â· 360Â° = 720Â°
	Die Summe zweier Seiten eines Dreieck ist immer grÃ¶ÃŸer als die dritte Seite
	Diese Beziehungen lassen sich in den sogenannten Dreiecksungleichungen ausdrÃ¼cken. Diese intuitiv einsichtigen Eigenschaften ebener Dreiecke folgen aus den Axiomen der Euklidischen Geometrie. [Bearbeiten]
Berechnung eines beliebigen Dreiecks
	Hat man von einem beliebigen Dreieck drei Angaben (Seiten S bzw
	kann man die 3 fehlenden Angaben berechnen
	Winkel W)
	SWS
	SWW
	WSW
	SSW
	Die 5 AuflÃ¶sungsfÃ¤lle werden symbolisch bezeichnet: SSS
	Der 6
	denn Ã¼ber die Winkelsumme im Dreieck (α+β+γ = 180Â°) lÃ¤ÃŸt sich aus zwei bekannten Winkeln immer der andere bestimmen
	Fall WWW ist bei ebenen Dreiecken nicht lÃ¶sbar
	weil es de facto nur 2 Angaben sind
	seine GrÃ¶ÃŸe bleibt aber offen
	Ohne gegebene Seite ist zwar die Form des Dreiecks gegeben
	FÃ¼r Berechnungen sind der Sinussatz und der Kosinussatz am wichtigsten; zusÃ¤tzlich kennt man den Projektionssatz sowie Tangenten- und HalbwinkelsÃ¤tze
	von denen sich aber die dritte aus den beiden anderen ergibt: <math>frac{a}{sin(alpha)} = frac{b}{sin(beta)} = frac{c}{sin(gamma)}<math> Der Kosinussatz ist eine verallgemeinerte Form des "Pythagoras"
	so betrÃ¤gt der Winkel γ 90Â°
	Den Sinussatz gibt es in 3 Varianten
	mit dem sich die Seiten eines beliebigen Dreiecks berechnen lassen: <math>a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cdot cos (alpha)<math> <math>b^2 = a^2 + c^2 - 2ac cdot cos (beta)<math> <math>c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cdot cos (gamma)<math> Handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck
	Damit gilt: <math>cos(gamma)=cos(90^circ)=0<math>
	a h_a = frac{1}{2}
	b h_b = frac{1}{2}
	FÃ¼r ein rechtwinkliges Dreieck gilt somit die Formel <math>c^2 = a^2 + b^2<math> Umfang: <math>u = 8rcdot cosleft( frac{alpha}{2}right) cdot cos left(frac{beta}{2}right) cdot cos left( frac{gamma}{2}right)<math> Inkreisradius: <math>rho =4rcdot sin left(frac{alpha}{2}right) cdot sin left(frac{beta}{2}right) cdot sin left(frac{gamma}{2}right)<math> Umkreisradius: <math>r= frac{a}{2 sin(alpha)}= frac{b}{2 sin (beta)}= frac{c}{2 sin (gamma)}<math> HÃ¶henformeln: <math>h_a = ccdotsin (beta) = bcdot sin (gamma)<math> <math>h_b = acdot sin (gamma) = ccdot sin (alpha)<math> <math>h_c = bcdot sin (alpha) = acdot sin (beta)<math> FlÃ¤cheninhalt: <math>A = frac{1}{2}
	c h_c<math> [Bearbeiten]
Dreiecksarten
	[Bearbeiten]
Ãœbersicht der unterschiedlichen Arten von Dreiecken
	d.h. alle Winkel sind <90Â°. rechtwinkligEin Winkel ist ein rechter Winkel. nicht in der Ebene mÃ¶glich
	da dort die Winkelsumme 180Â° sein muss
	Dreiecksarten unregelmÃ¤ÃŸigKein Winkel und keine Seite sind gleichgroÃŸ. gleichschenkligZwei Seiten und zwei Winkel sind gleichgroÃŸ gleichseitigAlle Winkel und Seiten sind gleichgroÃŸ. spitzwinkligAlle Winkel sind spitze Winkel
	Aber als Dreieck auf einer KugelflÃ¤che mÃ¶glich. stumpfwinkligEin Winkel ist ein stumpfer Winkel (>90Â°). in der Ebene unmÃ¶glich [Bearbeiten]
Das gleichseitige Dreieck
	Bild nicht gefundenGleichseitiges Dreieck [Bearbeiten]
Eigenschaften
	Bei einem gleichseitigen Dreieck sind alle drei Seiten gleich lang und alle drei Innenwinkel gleich groÃŸ
	Winkelhalbierende
	Seitenhalbierende und HÃ¶he zu einer Seite fallen bei einem gleichseitigen Dreieck jeweils zusammen
	weil alle drei Winkel kleiner als 90Â° sind. AuÃŸerdem ist das gleichseitige Dreieck auch ein gleichschenkliges Dreieck. Alle gleichseitigen Dreiecke sind zueinander Ã¤hnlich. Mittelsenkrechte
	Aus diesem Grund gehÃ¶rt das gleichseitige Dreieck auch zu den regelmÃ¤ÃŸigen Polygonen. Jeder Winkel eines gleichseitigen Dreiecks betrÃ¤gt 60Â°. Das gleichseitige Dreieck zÃ¤hlt zu den spitzwinkligen Dreiecken
	den Schwerpunkt und den HÃ¶henschnittpunkt des gleichseitigen Dreiecks. [Bearbeiten]
	Entsprechendes gilt fÃ¼r den Umkreismittelpunkt
	den Inkreismittelpunkt
Formeln
	Die SeitenlÃ¤nge des gleichseitigen Dreiecks wird mit a bezeichnet. FlÃ¤che A<math>A = frac{sqrt{3}}{4}a^{2}<math> HÃ¶he h <math>h = frac{sqrt{3}}{2}a<math> Umkreisradius r <math>r = frac{sqrt{3}}{3}a=frac{1}{sqrt{3}}a<math> Inkreisradius ρ <math>rho = frac{sqrt{3}}{6}a<math> Umfang u <math>u = 3*a<math> [Bearbeiten]
Das gleichschenklige Dreieck
	Bild nicht gefunden Links ein gleichschenkliges
	rechts ein gleichseitiges Dreieck [Bearbeiten]
Eigenschaften
	Bei einem gleichschenkligen Dreieck sind wenigstens zwei Seiten gleich lang und die jeweils gegenÃ¼ber liegenden Winkel gleich groÃŸ. Die beiden gleich langen Seiten bezeichnet man als Schenkel
	nennt man Spitze. In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Mittelsenkrechte zur Basis
	heiÃŸen Basiswinkel. Der Punkt
	wenn man das Dreieck teilt und so den Satz des Phytagoras anwenden kann. [Bearbeiten]
	die Winkelhalbierende des Winkels an der Spitze
	an dem beide Schenkel zusammentreffen
	bei der jede Seite gleichzeitig Schenkel und Basis ist und jede Ecke des Dreiecks als Spitze bezeichnet werden kann. Man kann die HÃ¶he nur bestimmen
	die dritte als Basis. Die gleich groÃŸen Winkel
	die Seitenhalbierende der Basis und die HÃ¶he zur Basis identisch. Das gleichseitige Dreieck lÃ¤sst sich als eine spezielle Form des gleichschenkligen Dreiecks sehen
	die den Schenkeln gegenÃ¼ber liegen
Das rechtwinklige Dreieck
	[Bearbeiten]
Eigenschaften
	auch rechter Winkel genannt. Die lÃ¤ngste Seite des Dreiecks liegt dem rechten Winkel gegenÃ¼ber und wird Hypotenuse genannt. Die beiden anderen Seiten heiÃŸen Katheten. Satz des Pythagoras <math>c^2 = a^2 + b^2 <math> Kathetensatz von Euklid <math>a^2 = cp<math> <math>b^2 = cq<math> HÃ¶hensatz von Euklid <math>h^2 = p*q <math> Bei Kenntnis zwei der Angaben (a
	in der Tabelle aufgefÃ¼hrten Formeln berechnen
	b
	p
	c
	Ein rechtwinkliges Dreieck besitzt einen 90Â°-Winkel
	q und h) lassen sich die fehlenden 3 anderen Werte aus den
	Die LÃ¤ngen der drei Seiten werden durch den Satz des Pythagoras in Beziehung gebracht: Das Quadrat der LÃ¤nge der Hypotenuse (in der Grafik als c bezeichnet) gleicht der Summe der Quadrate der LÃ¤ngen der Katheten (a und b)
	In Bezug auf die spitzen Winkel des Dreiecks spricht man von der Ankathete des Winkels als die dem Winkel anliegende Kathete und von der Gegenkathete als die dem Winkel gegenÃ¼berliegende Kathete
	also der Kehrwert des Kosinus. <math>sec alpha = frac{c}{b} = frac{1}{cos alpha}<math> Der Kosekans ist das VerhÃ¤ltnis der Hypotenuse zur Gegenkathete
	die anderen sind seltener von Bedeutung). [Bearbeiten]
	d. h. der Kehrwert des Sinus. <math>csc alpha = frac{c}{a} = frac{1}{sin alpha}<math> Diese sechs Funktionen werden Winkelfunktionen oder trigonometrische Funktionen genannt; im schulischen Kanon werden diese jedoch meistens auf die ersten drei reduziert (diese sind auch die gelÃ¤ufigsten
	Durch das VerhÃ¤ltnis zwischen Katheten und Hypotenuse lÃ¤sst sich auch ein Winkel im rechtwinkligen Dreieck eindeutig bestimmen. Bild nicht gefundenRechtwinkliges Dreieck mit den rechten Winkel im Punkt C Funktion Berechnung Der Sinus des Winkels Î± ist dabei als das VerhÃ¤ltnis zwischen der Gegenkathete (hier: a) und der Hypotenuse (hier: c) definiert. <math>sin alpha = frac{a}{c}<math> Der Kosinus des Winkels Î± ist das VerhÃ¤ltnis zwischen der Ankathete (hier: b) und der Hypotenuse. <math>cos alpha = frac{b}{c}<math> Der Tangens ist durch das VerhÃ¤ltnis zwischen Gegenkathete und Ankathete gegeben. <math>tan alpha = frac{a}{b}<math> Der Kotangens ist das VerhÃ¤ltnis zwischen Ankathete und Gegenkathete
	und ist damit der Kehrwert des Tangens. <math>cot alpha = frac{b}{a} = frac{1}{tan alpha}<math> Der Sekans ist das VerhÃ¤ltnis der Hypotenuse zur Ankathete
Dreiecke der Nichteuklidschen Geometrie
	[Bearbeiten]
SphÃ¤rische Dreiecke
	wobei die 3 Seiten Teile von GroÃŸkreisen sind
	Dreiecke auf der Kugel nennt man sphÃ¤risch
	Ihre SeitenlÃ¤nge wird nicht in der Dimension einer LÃ¤nge angegeben (Meter
	cm usw.)
	sondern als zugehÃ¶riger Winkel im Kugelmittelpunkt. Bild nicht gefundenSphÃ¤risches Dreieck (Kugeldreieck) Ein sphÃ¤risches Dreieck hat eine Winkelsumme grÃ¶ÃŸer als 180Â°
	wobei der "Ãœberschuss" sphÃ¤rischer Exzess heiÃŸt und in Formeln meist als ε bezeichnet wird: <math>alpha + beta + gamma = 180^circ + epsilon<math>
	14159... bedeutet. Der maximale Exzess von 360Â° tritt beim grÃ¶ÃŸtmÃ¶glichen "Dreieck" auf
	worin R den Kugelradius und π die Kreiszahl 3
	bzw. in Grad ε = 180Â°.F / RÂ²π)
	das die halbe KugeloberflÃ¤che umspannt: mit 3 gestreckten Winkeln hat es eine Winkelsumme von 3 mal 180Â° und ε = 540Â° - 180Â° = 360Â°
	Der Exzess hÃ¤ngt direkt mit dem FlÃ¤cheninhalt des Dreiecks zusammen (ε = F / RÂ²
	wofÃ¼r es z.B. den spÃ¤rischen Sinussatz
	den Projektionssatz und verschiedene HalbwinkelsÃ¤tze gibt - siehe SphÃ¤rische Trigonometrie. Bild nicht gefundenSphÃ¤risches Zweieck SphÃ¤risches Zweieck: fÃ¼r manche Berechnungen auf der SphÃ¤re - z.B. auf der Himmelskugel - sind auch Zweiecke nÃ¼tzlich
	SphÃ¤rische Dreiecke kÃ¶nnen analog den ebenen Dreiecken berechnet werden
	den Cosinussatz
	Die Formeln ergeben sich als Sonderfall des Dreiecks. [Bearbeiten]
Hyperbolische Dreiecke
	Bild nicht gefundenSattelflÃ¤che und geodÃ¤tisches Dreieck Zur nichteuklidischen Geometrie - in der das Parallelen-Axiom nicht gilt - zÃ¤hlen z.B. auch Dreiecke auf einer SattelflÃ¤che
	WÃ¤hrend eine Kugel Ã¼berall konvex gekrÃ¼mmt ist
	das KrÃ¼mmungsmaÃŸ
	ist negativ)
	haben Sattel- und andere hyperbolische FlÃ¤chen sowohl konvexe als auch konkave KrÃ¼mmung (ihr Produkt
	Winkel)
	Entsprechend ist auch der Exzess negativ - d.h. die Winkelsumme eines Dreiecks auf einer SattelflÃ¤che ist kleiner als 180Â°. --- Die KongruenzsÃ¤tze machen Aussagen Ã¼ber die DreiecksgrÃ¶ÃŸen (SeitenlÃ¤nge
	einem Teilgebiet der Mathematik
	die notwendig sind
	spielen Dreiecke die wesentliche Rolle
	um ein Dreieck eindeutig zu bestimmen. In der Trigonometrie
	Siehe dazu insbesondere Dreiecksgeometrie. [Bearbeiten]
Oft auftretende DreiecksgrÃ¶ÃŸen
	die FlÃ¤che die HÃ¶hen die Seitensymmetralen (Mittelsenkrechten) die Winkelsymmetralen (Winkelhalbierenden) die Seitenhalbierenden der Inkreis der Umkreis Interessant sind auch die Schnittpunkte dieser Linien bzw. die Mittelpunkte der Kreise
	die als ausgezeichnete oder merkwÃ¼rdige Punkte des Dreiecks bekannt sind. [Bearbeiten]
SÃ¤tze rund um das Dreieck
	Kosinussatz Satz von Menelaos Satz von Ceva Satz von Stewart Satz des Heron (FlÃ¤che aus drei Seiten berechnen) Eulersche Gerade Feuerbachkreis Simsonsche Gerade Symmedianen und Lemoinepunkt Trigonometrie [Bearbeiten]
	KongruenzsÃ¤tze Thaleskreis Ausgezeichnete Punkte im Dreieck SÃ¼dpolsatz Sinussatz Satz des Pythagoras
Weblinks
	Bilder verschiedener Dreiecksarten (http://www.zum.de/dwu/mdl001vs.htm) Ein weiteres Programm zur Dreiecksberechnung (http://www.arstechnica.de/computer/JavaScript/dreieck.html) Java-Applet zur Veranschaulichung einiger Punkte im Dreieck (http://www.ginko.de/user/burki/java/java2/Dreiecke.htm) ar:Ù…Ø«Ù„Ø« ca:Triangle cs:TrojÃºhelnÃk da:Trekant en:Triangle eo:Rekta triangulo es:TriÃ¡ngulo et:Kolmnurk fi:Kolmio fr:Triangle gl:TriÃ¡ngulo is:ÃžrÃhyrningur it:Triangolo ja:ä¸‰è§’å½¢ nl:Driehoek pl:TrÃ³jkÄ…t (geometria) ru:Ð¢Ñ€ÐµÑƒÐ³Ð¾Ð»ÑŒÐ½Ð¸Ðº sl:Trikotnik sv:Triangel th:à¸£à¸¹à¸›à¸ªà¸²à¸¡à¹€à¸«à¸¥à¸µà¹ˆà¸¢à¸¡ tr:ÃœÃ§gen uk:Ð¢Ñ€Ð¸ÐºÑƒÑ‚Ð½Ð¸Ðº vi:Tam giÃ¡c zh:ä¸‰è§’å½¢

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Allgemein

Das beliebige (allgemeine) Dreieck

Definition und Eigenschaften

Berechnung eines beliebigen Dreiecks

Dreiecksarten

Ãœbersicht der unterschiedlichen Arten von Dreiecken

Das gleichseitige Dreieck

Eigenschaften

Formeln

Das gleichschenklige Dreieck

Eigenschaften

Das rechtwinklige Dreieck

Eigenschaften

Dreiecke der Nichteuklidschen Geometrie

SphÃ¤rische Dreiecke

Hyperbolische Dreiecke

Oft auftretende DreiecksgrÃ¶ÃŸen

SÃ¤tze rund um das Dreieck

Weblinks