Stichpunkte

Allgemein
	Die Norm IEEE 754 definiert Standarddarstellungen für Gleitkommazahlen in Computern und legt genaue Verfahren für die Durchführung mathematischer Operationen fest
	Es werden zwei Standarddatenformate mit 32 Bit ("single precision") bzw
	64 Bit ("double precision") Speicherbedarf definiert
	wie genau diese Zahlen angegeben werden können. Typ Gesamtgröße Mantisse Exponent Bias single 32 bit 23 bit 8 bit 127 double 64 bit 52 bit 11 bit 1023 Die Anordnung der Bits zeigt die nachfolgende Abbildung. Im Bild steht Exponent
	Mantissenbits. Die Anzahl der Charakteristikbits legt fest
	aus welchem Bereich die darstellbaren Zahlen stammen (s.u.)
	Die allgemeine Darstellung einer Fließkommazahl besteht aus: einem Vorzeichenbit (1: negativ
	während die Anzahl der Mantissebits festlegt
	0: positiv)
	Charakteristikbits
	die Formel steht unten: Charakteristik = Exponent + Bias
	Es heißt aber Charakteristik
	Neben diesen beiden Formaten werden "erweiterte Formate" definiert
	wie groß die Genauigkeit dieser Formate ist. Inhaltsverzeichnis showTocToggle("Anzeigen"
	Es wird aber nicht definiert
	"Verbergen") 1 Darstellbare Werte 2 Umwandlung 3 Geschichtliches 4 Siehe auch 5 Weblinks [Bearbeiten]
Darstellbare Werte
	so hat diese Fließkommazahl eine gesonderte Bedeutung: Charakteristik (in Grafik als Exponent gekennzeichnet) Mantisse Bedeutung 111...111binär 000...000binär +/- Unendlich 111...111binär ≠ 000...000binär "Keine Zahl" (NaN = Not a Number) 000...000binär 000...000binär +/- 0. (Null) 000...000binär ≠000...000binär Denormalisierte Fließkommazahl 000...001binär bis 111...110binär beliebig Normalisierte Fließkommazahl "Unendlich"  Repräsentiert Zahlen
	Sind im Exponent einer Zahl alle Bits gesetzt (= 1) oder alle gelöscht (=0) sind
	um dargestellt zu werden. Es wird zwischen +"Unendlich" und -"Unendlich" unterschieden
	deren Betrag zu groß sind
	Die Berechnung von 1.0/0.0 ergibt per Definition ebenfalls +"Unendlich". "Keine Zahl" (NaN)  Damit werden ungültige (oder nicht definierte) Ergebnisse dargestellt
	z
	B. wenn versucht wurde
	die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl zu berechnen
	Einige "unbestimmte Ausdrücke" haben als Ergebnis "keine Zahl"
	zum Beispiel 0.0/0.0 oder "Unendlich" - "Unendlich"
	um "Kein Wert" oder "Unbekannter Wert" darzustellen
	Außerdem werden NaNs in verschiedenen Anwendungsbereichen benutzt
	Insbesondere der Wert mit dem Bitmuster 111...111 wird oft für eine "nicht initialisierte Fließkommazahl" benutzt. Null  Null repräsentiert die absolute Null
	Auch Zahlen
	die zu klein sind
	um dargestellt zu werden (Unterlauf) werden auf Null gerundet
	Ihr Vorzeichen bleibt dabei erhalten
	positive Zahlen zu +0.0
	Negative kleine Zahlen werden so zu -0.0 gerundet
	um in normalisierter Form mit dem kleinsten
	Beim direkten Vergleich werden jedoch +0.0 und -0.0 als gleich angesehen. Denormalisierte Zahl  Ist eine Zahl zu klein
	von Null verschiedenen Exponenten gespeichert zu werden
	so werden sie als "Denormalisierte Zahl" gespeichert
	Ihre Interpretation ist nicht mehr <math>pm 1{
	}mantisse cdot 2^{de}<math>. <math>de<math> ist dabei der Wert des kleinsten "normalen" Exponenten
	}mantisse cdot 2^{exponent}<math> sondern <math>pm 0{
	Damit lässt sich die Lücke zwischen der kleinsten normalisierten Zahl und Null schließen
	Denormalisierte Zahlen haben jedoch eine geringere Genauigkeit (Die Anzahl der signifikanten Stellen in der Mantisse nimmt zur Null hin ab) als normalisierte Zahlen. Normalisierte Zahl  In allen anderen Fällen berechnet sich der Wert v der Zahl als <math>v = (-1)^s cdot (1{
	}m_0m_1m_2dots) cdot 2^{e_0e_1e_2dots - a}<math>
	<math>m_i<math> sind die Bits der Mantisse und <math>e_j<math> die Bits des Exponenten
	Hierbei ist s das Vorzeichenbit
	18·10-38 ... ±3
	40·10+38 double: ±2
	die aus der Tabelle oben entnommen werden kann. Als darstellbarer Zahlenbereich ergibt sich: single: ±1
	Der Wert a ist die Abweichung (engl.: bias)
	23·10-308 ... ±1
	80·10+308 [Bearbeiten]
Umwandlung
	Für die Umwandlung einer Dezimalzahl in die IEEE 754-Maschinendarstellung geht man folgendermaßen vor
	dass Fließkommazahlen nur begrenzte Genauigkeit bieten und es zwangsweise zu Rundungsfehlern kommt
	125dezimal = 10100110
	Als Beispiel soll 166
	125 umgewandelt werden. 166
	001binär Nach Verschiebung des Kommas 10100110
	zu beachten
	0100110001binär * 27 Die Mantisse erhält man indem man die 1 und das Komma weglässt: 0100110001 Um auf 23 Bit zu kommen wird (falls nötig) das Ende mit Nullen aufgefüllt: 0100110 00100000 00000000 Exponent: 7 (Anzahl an Stellen um die das Komma unter 2. nach links verschoben wurde) + 127 (wegen Single-Genauigkeit) = 134dezimal = 10000110binär Ergebnis als Maschinenzahl: 0 10000110 0100110 00100000 00000000binär = 43 26 20 00hex Wichtig ist es
	001binär = 1
	wenn man viele einzelne Fließkommazahlen aufsummiert
	Dies kommt vor allen dann zum tragen
	Oft addieren sich hier die Rundungsfehler
	und somit unendlich langen Nachkommastellen
	1dezimal z.B. ist 0
	also eine Zahl mit periodischen
	000110011001100110011...binär
	Die Zahl 0
	z.B. in Java java.math.BigDecimal
	die intern in dezimaler Schreibweise arbeiten
	Viele Programmiersprachen bieten daher Alternative Datentypen für Kaufmännische Anwendungen an
	z.B
	Auch gibt es Programmiersprachen
	die für numerische Berechnungen optimiert sind
	Fortran. [Bearbeiten]
Geschichtliches
	dass identische Programme auf unterschiedlichen Hardwarearchitekturen ('Plattformen') unterschiedliche Ergebnisse liefern können
	Die Norm geht auf die Erkenntnis zurück
	dass bei identischen Rechenwegen identische Resultate auf unterschiedlichen Plattformen erzielt werden. (Sie garantiert jedoch nicht
	dass unterschiedliche Rechenwege zu identischen Ergebnissen führen.) [Bearbeiten]
	Die Norm soll sicher stellen
Siehe auch
	Potenz (Mathematik) Mantisse [Bearbeiten]
Weblinks
	Java-Applet zur Umrechnung zwischen Binär- und Dezimaldarstellung von IEEE 754-Fließkommazahlen (http://www.h-schmidt.net/FloatApplet/IEEE754de.html) en:IEEE floating-point standard fr:IEEE 754

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