Stichpunkte

Allgemein
	Gruppe (Axiome EANI) berührt die Spezialgebiete Mathematik Abstrakte Algebra Gruppentheorie ist Spezialfall von Magma (Axiom E) Halbgruppe (EA) Monoid (EAN) umfasst als Spezialfälle Abelsche Gruppe (EANIK) Ring Körper Vektorraum endliche Gruppe 18 Familien endlicher einfacher Gruppen Kleinsche Vierergruppe Permutationsgruppe symmetrische Gruppe alternierende Gruppe zyklische Gruppe Diedergruppe Punktgruppe 230 Raumgruppen 26 sporadische Gruppen unendliche Gruppe Lie-Gruppe allgemeine lineare Gruppe Die Gruppentheorie
	als mathematische Disziplin im 19
	ist ein Wegbereiter der modernen Mathematik
	da sie eine Entkoppelung der Repräsentation (z.B. die reellen Zahlen) von der inneren Struktur darstellt (Rechengesetze für Gruppen)
	Jahrhundert entstanden
	die durch das Hintereinanderausführen von Drehungen eines regulären n-Ecks in der Ebene um Vielfache des Winkels 360°/2n entsteht
	denselben Gesetzen wie die Addition der ganzen Zahlen modulo n
	Beispielsweise folgt die Gruppe
	Neutrales Element - entsprechend der Null bei der Addition - wäre hier die Nicht-Drehung oder äquivalent die Drehung um einen Winkel von 0°
	Niels Henrik Abel
	Sophus Lie
	Große Beiträge zur Gruppentheorie stammen unter anderem von Evariste Galois
	Eine Liste von Artikeln zum Thema Gruppentheorie ist die Liste gruppentheoretischer Artikel
	"Verbergen") 1 Definition für nicht Mathematiker 2 Definition des Gruppenbegriffs 3 Grundkonzepte der Gruppentheorie 3.1 Kardinalität einer Gruppe 3.2 Ordnung von Elementen 3.3 Untergruppen 3.4 Nebenklassen 3.5 Normalteiler 3.6 Faktorgruppe 3.7 Zyklische Gruppen 4 Ausblick 5 Siehe auch [Bearbeiten]
	Knappe Begriffsdefinitionen finden sich im Gruppentheorie-Glossar. Inhaltsverzeichnis showTocToggle("Anzeigen"
Definition für nicht Mathematiker
	Gruppe gleich sowas: 'a+b' d.h eine Menge plus eine Verknüpfung von 2 Elementen dieser Menge
	muss a × b auch eine ganze Zahlen ergeben Reihenfolge beim Ausrechnen egal => Assoziativität: a × (b × c) = (a × b) × c Es gibt eine Zahl die nichts macht => Neutrales Element: a ×'1' = '1'× a => a
	Desweiten müssen diese Anforderung erfüllt sein: Alles aus dem selben Topf => Abgeschlossenheit: Wenn a und b ganze Zahlen sind
	Es gibt ein Spiegelbild(Negative Zahl) => Inverses Element: '-a' hat die Eigenschaft beim Verknüpfen das neutrale Element zu ergeben a + '-a' = '0' (Spezialfall: 5.Wenn ich zudem noch die Operanten vertauschen darf
	dann ist es eine abelsche Gruppe) [Bearbeiten]
	also b+a anstelle von a+b (Kommutativität)
Definition des Gruppenbegriffs
	wenn folgende Axiome erfüllt sind: Abgeschlossenheit: Sind a und b Elemente aus M
	heißt Gruppe
	Das Paar (M
	so ist auch a × b aus M
	×)
	wobei M eine Menge und × eine zweistellige Verknüpfung auf M ist
	Assoziativität: a × (b × c) = (a × b) × c Neutrales Element: Es existiert ein Element e (auch 1 genannt) in M
	so dass für alle Elemente gilt a × e = e × a = a
	Inverses Element: Zu jedem Element a in M existiert ein Element
	nenne es a-1
	so dass a × a-1 = a-1 × a = e
	so spricht man von einer abelschen oder kommutativen Gruppe: Kommutativität: a × b = b × a. Im Falle des neutralen Elements reicht eine der Gleichungen a × e = a bzw. e × a = a
	Ist zusätzlich noch die folgende Bedingung erfüllt
	die andere folgt daraus
	wie unter inverses Element nachgewiesen
	Desgleichen braucht für das inverse Element nur Linksinversität oder Rechtsinversität gefordert zu werden. [Bearbeiten]
Grundkonzepte der Gruppentheorie
	[Bearbeiten]
Kardinalität einer Gruppe
	Die Mächtigkeit |M| der Trägermenge der Gruppe nennt man Kardinalität oder Ordnung der Gruppe. (Die Bezeichnung "Ordnung" ist etwas verwirrend
	aber allgemein üblich.) [Bearbeiten]
Ordnung von Elementen
	so nennt man das kleinste derartige n die Ordnung des Elementes
	d. h. es gilt: an = 1
	Ergibt ein Element der Gruppe nach endlich vielen Multiplikationen mit sich selbst das neutrale Element 1
	Davon ausgehend kann man z
	dass die Ordnung jeden Elementes einer endlichen Gruppe die Kardinalität der Gruppe teilt. [Bearbeiten]
	B. zeigen
Untergruppen
	×} die Gruppenaxiome
	so nennt man U eine Untergruppe von M
	Ist U eine Teilmenge der Trägermenge M und gelten für {U
	Hierzu ein wichtiger Satz: (Satz von Lagrange) Die Kardinalität jeder Untergruppe U einer endlichen Gruppe teilt die Kardinalität der Gruppe M
	enthält M nur zwei Untergruppen
	Ist beispielsweise |M| eine Primzahl
	nämlich {1} und M. [Bearbeiten]
Nebenklassen
	Zu einer Untergruppe U in M kann man die rechte Nebenklasse zum Element b
	man schreibt U*b
	wenn man sie von rechts mit b multipliziert
	wie folgt definieren: U*b entsteht aus den Elementen der Untergruppe U
	Analog kann man die linken Nebenklassen definieren
	Beispiel: Man nehme die ganzen Zahlen mit der Addition als M
	Dann ist die Menge aller ganzzahligen Vielfachen von drei eine Untergruppe
	Bildet man die rechten Nebenklassen
	so erhält man folgende Tabelle: U U+1 U+2 U+3=U U+4=U+1 ... ... ... ... -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ... ... ... Man sieht
	dass diese Tabelle wieder genau alle ganzen Zahlen enthält
	wobei keine Zahl zweimal vorkommt
	Für endliche Gruppen gibt es einen Satz
	der besagt: Die Anzahl der Nebenklassen multipliziert mit |U| ergibt |M|
	hier nur mit den Nebenklassen zu rechnen
	also modulo 3
	und sich fragen ob es so ein Konzept zu jeder Untergruppe für beliebige Gruppen gibt
	Die Spalten sind genau die Teilungsreste bei der Division durch 3 ! Jetzt mag man versucht sein
	Dies führt zur folgenden Definition: [Bearbeiten]
Normalteiler
	Ist für jedes Element b aus M die linke Nebenklasse gleich der rechten
	d. h
	so nennt man U einen Normalteiler von M
	U × b = b × U
	Ein Sonderfall ist: In einer abelschen Gruppe M ist jede Untergruppe Normalteiler. [Bearbeiten]
Faktorgruppe
	Damit können wir nun unser Konzept des Rechnens auf den Nebenklassen umsetzen: Ist U ein Normalteiler
	dann kann man nur mit den Nebenklassen rechnen und erhält eine Gruppe
	Dies geht wie folgt: man nimmt irgendein Element aus der einen Spalte und multipliziert es mit einem beliebigen Element aus der anderen Spalte
	Die Spalte
	in der das Ergebnis liegt
	ist das Ergebnis meiner Multiplikation
	Die mit dieser Multiplikation und den Spalten (Nebenklassen) als Elementen definierte Gruppe nennt man die Faktorgruppe von M bezüglich U. [Bearbeiten]
Zyklische Gruppen
	so dass man jedes andere Element als Potenz ak (mit einer ganzen Zahl k) schreiben kann
	Gibt es in M ein Element a
	so nennt man M eine zyklische Gruppe und a erzeugendes Element. [Bearbeiten]
Ausblick
	Es gibt auch Verallgemeinerungen der Gruppentheorie
	Eine Herangehensweise ist die Definition der Halbgruppen und Monoide: Für Halbgruppen werden nur die Axiome 1. und 2. verlangt
	Existiert in einer Halbgruppe ein neutrales Element
	so spricht man von einem Monoid
	Eine andere Verallgemeinerung stellen die Quasigruppen dar
	die Assoziativität wird durch die Moufang-Identitäten
	ersetzt
	3. und 4. verlangt
	Hier werden die Axiome 1.
	eine schwächere Forderung
	Eine Einbettung des Gruppenkonzeptes in Algebren mit zwei Operationen bildet die Theorie der Körper. [Bearbeiten]
Siehe auch
	Körper Verband Vektorraum Hierarchie mathematischer Strukturen Liste gruppentheoretischer Artikel ca:Grup (Matemàtiques) da:Gruppe (matematik) en:Group (mathematics) eo:Grupo es:Grupo matemático fi:Ryhmä fr:Groupe (mathématiques) he:חבורה (×?לגברה) hu:Csoport (matematika) it:Gruppo (matematica) ja:群論 ko:êµ°ë¡  nl:Groep (wiskunde) no:Gruppe (matematikk) pl:Grupa (matematyka) pt:Grupo (matemática) ru:Группа sl:MatematiÄ?na grupa sv:Grupp (matematik) tr:Grup Teorisi zh:群

Dieser Artikel basiert auf dem Artikel Gruppentheorie aus der freien Enzyklopädie wikipedia und steht unter der GNU Lizenz für freie Dokumentation. In der wikipedia ist eine Liste der Autoren verfügbar.