Stichpunkte

Allgemein
	Die Fibonacci-Folge ist eine mathematische Folge von positiven ganzen Zahlen
	den Fibonacci-Zahlen
	Der Mathematiker Leonardo Fibonacci (Leonardo von Pisa) entwickelte sie
	und publizierte sie in seinem Buch "Liber Abaci" aus dem Jahre 1202. Inhaltsverzeichnis showTocToggle("Anzeigen"
	um das Wachstum einer Population von Kaninchen zu beschreiben
	"Verbergen") 1 Definition der Fibonacci-Folge 2 Modell einer Kaninchenpopulation 3 Formel von Binet 4 Näherungsformel für große n 5 Verwandtschaft mit dem Goldenen Schnitt 6 Beziehung zur Lucas-Folge 7 Das Zeckendorf-Theorem 8 Literatur 9 Weblinks [Bearbeiten]
Definition der Fibonacci-Folge
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	89
	Die Folge ist rekursiv definiert durch: <math>f_0=0<math> <math>f_1=1<math> <math>f_n= f_{n-1}+ f_{n-2}<math> Das bedeutet in Worten: für die beiden ersten Zahlen werden die Werte Null und Eins vorgegeben jede weitere Zahl ist die Summe ihrer beiden Vorgänger Daraus ergibt sich die Folge zu 0
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	144
	... Oft wird auch <math>f_0=0<math> ausgelassen und die Fibonacci-Folge mit <math>f_1=1<math> und <math>f_2=1<math> beginnend definiert
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	2
	in denen ein Anfangswert Null keinen Sinn ergibt. [Bearbeiten]
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	insbesondere bei der Anwendung auf Situationen
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	233
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Modell einer Kaninchenpopulation
	Fibonacci stieß auf diese Folge bei der einfachen mathematischen Modellierung des Wachstums einer Kaninchenpopulation nach folgender Vorschrift: Zu Beginn gibt es ein Paar neugeborener Kaninchen. Jedes neugeborene Kaninchenpaar wirft nach 2 Monaten ein weiteres Paar. Anschließend wirft jedes Kaninchenpaar jeden Monat ein weiteres. Kaninchen leben ewig und haben einen unbegrenzten Lebensraum. Jeden Monat kommt zu der Anzahl der Paare
	die bereits im vorletzten Monat gelebt haben
	da genau diese geschlechtsreif sind und sich nun vermehren
	die gleich der Anzahl der Paare ist
	eine Anzahl von neugeborenen Paaren hinzu
	die im letzten Monat gelebt haben
	Das entspricht aber gerade der oben angegebenen Rekursionsformel. [Bearbeiten]
Formel von Binet
	die der französische Mathematiker Jacques-Philippe-Marie Binet 1843 angegeben hat: <math>f_n=frac{1}{sqrt{5}}(a^n-b^n)<math> mit a = <math>frac{1+sqrt{5}}{2}<math> und b = <math>frac{1-sqrt{5}}{2} <math> Diese Formel hat im Vergleich zur rekursiven Darstellung den Vorteil
	Die Fibonacci-Zahlen lassen sich auch direkt über eine Formel berechnen
	dass zur Ermittlung einer Fibonacci-Zahl nicht sämtliche Vorgänger berechnet werden müssen. [Bearbeiten]
Näherungsformel für große n
	Für große Werte von n kann man in der Formel von Binet den Ausdruck bn=(-0
	618033989n vernachlässigen
	618033989) n gegenüber dem Ausdruck an=1
	223606798 cdot 3
	236067977^n <math> [Bearbeiten]
	Damit erhält man die Näherungsformel <math>f_n approx frac{1}{sqrt{5}} a^n = frac{1}{sqrt{5}} cdot ( frac{1+sqrt{5}}{2} )^n approx 0
Verwandtschaft mit dem Goldenen Schnitt
	nähert sich der Quotient zweier aufeinander folgender Fibonacci-Zahlen dem Goldenen Schnitt Φ an
	Wie von Johannes Kepler festgestellt wurde
	}618{...}<math> Φ ist eine irrationale Zahl
	Dies folgt unmittelbar aus obiger Näherungsformel für große n: <math>frac {f_{n+1}}{f_n} approx a = (frac{1+sqrt{5}}{2}) = Phi approx 1{
	Es zeigt sich
	dass sie in einem bestimmten Sinne die irrationalste aller Zahlen ist
	der wesentlich zu ihrer Bedeutung in Kunst und Natur beiträgt
	Das bedeutet
	ein Umstand
	dass sie sich nur schlecht durch ein Verhältnis zweier ganzer Zahlen annähern lässt
	Am besten lässt sich Φ durch Quotienten zweier auf einander folgender Fibonacci-Zahlen darstellen
	Diese Brüche lassen sich als Kettenbrüche schreiben: <math>frac{1}{1} = 1 qquad frac{2}{1} = 1+frac{1}{1} qquad frac{3}{2} = 1+frac{1}{1+ frac{1}{1}} qquad frac{5}{3} = 1+frac{1}{1+ frac{1}{1+ frac{1}{1}}} qquad frac{8}{5} = 1+frac{1}{1+ frac{1}{1+ frac{1}{1+ frac{1}{1}}}}<math> Der Goldene Schnitt lässt sich daher als unendlicher Kettenbruch darstellen: <math>Phi = 1+frac{1}{1+ frac{1}{1+ frac{1}{1+ frac{1}{1+ ...}}}}<math> [Bearbeiten]
Beziehung zur Lucas-Folge
	Q) mit P=1 und Q=-1 interpretieren: <math>f_n=U_n(1
	Die Fibonacci-Folge lässt sich auch als Spezialfall der allgemeinen Lucas-Folge Un(P
	-1)=frac{a^n-b^n}{a-b}<math> mit a = <math>frac{1+sqrt{5}}{2}<math> und b = <math>frac{1-sqrt{5}}{2}<math> Wegen <math> a-b = sqrt{5}<math> lässt sich dieser Ausdruck unmittelbar in die Formel von Binet umformen
	die auch als Zwilling der Fibonacci-Folge bezeichnet wird. [Bearbeiten]
	Q) - QU_{n-1}(P
	Q) = PU_{n-2}(P
	Q) = 1<math> <math>U_{n}(P
	Die Übereinstimmung mit der Fibonacci-Folge für P=1 und Q=-1 folgt auch direkt aus den folgenden Eigenschaften der Lucas-Folge: <math>U_0(P
	so erhält man die Lucas-Folge im engeren Sinne mit dem Bildungsgesetz <math>L_n = a^n+b^n<math>
	Q) = 0<math> <math>U_1(P
	Q)<math> Wählt man für die Anfangswerte der Fibonacci-Folge die Zahlen <math>f_0=2<math> und <math>f_1=1<math>
Das Zeckendorf-Theorem
	dass jede natürliche Zahl n größer Null eineindeutig als Summe voneinander verschiedener Fibonacci-Zahlen geschrieben werden kann
	Das Zeckendorf-Theorem besagt
	qquad c_iin left{0
	n > 0<math> eine Darstellung der Form <math>n = sum_{i=1}^{k} c_i f_i
	1 right}<math>
	es gibt für jedes <math>n in mathbb{N}
	Die entstehende Folge <math>(c)<math> von Nullen und Einsen wird Zeckendorf-Sequenz genannt
	Das heißt
	Aus der Definition der Fibonacci-Zahlen folgt
	dass keine zwei Einsen in einer Zeckendorf-Sequenz hintereinander stehen können. [Bearbeiten]
Literatur
	ISBN 3-446-18900-9 John H
	Der Zahlenteufel
	Hans Magnus Enzensberger
	Conway und Richard K
	The Book of Numbers
	ISBN 0-387-94457-5 [Bearbeiten]
	The new Book of Primenumber Records
	Guy
	ISBN 0-387-97993-X Paolo Ribenboim
Weblinks
	C++
	Java und Assembler Schulprojekt über Fibonacci-Zahlen in der Mathematik und der Umwelt (http://www.mathekiste.de/fibonacci/inhalt.htm) Sehr ausführliche und verständliche Darstellung (http://www.ijon.de/mathe/fibonacci/index.html) Fibonacci-Zahlen bei Brettspielen (http://www.pijnappel2.tmfweb.nl/de/fibo.htm) Ausführliche Seite auf Englisch (http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fib.html) Weitere englische Seite mit Daten zu Leonardo Fibonacci (http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Fibonacci.html) Freies und plattformunabhängiges Programm
	Programme zur Berechnung von Fibonacci-Zahlen (http://wikisource.org/wiki/Fibonacci_sequence) in BASIC
	u. a. zur unbegrenzten Berechnung von Fibonacci-Zahlen (http://www.jonelo.de/java/bigal_de.html) (mit Java-Quelltext) Beweis des Zeckendorf-Theorems (http://www.ijon.de/mathe/fibonacci/node5.html) bg:ЧиÑ?ло на Фибоначи ca:Nombre de Fibonacci cs:Fibonacciho posloupnost da:Fibonacci-tal en:Fibonacci number eo:Fibonaĉi-nombroj es:Número de Fibonacci fr:Suite de Fibonacci he:סדרת פיבונ×?צ'×™ id:Bilangan Fibonacci it:Successione di Fibonacci ja:フィボナッãƒ?æ•° nl:Rij van Fibonacci no:Fibonaccirekken pl:CiÄ…g Fibonacciego pt:Número de Fibonacci ru:ЧиÑ?ло Фибоначчи scn:Succissioni di Fibonacci sl:Fibonaccijevo Å¡tevilo sv:Fibonaccital zh:æ–?波那契数列

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