Stichpunkte

Allgemein
	Der Lagrange-Formalismus ist eine 1788 von Joseph Louis Lagrange eingeführte Formulierung der klassischen Mechanik
	für den das Integral der Lagrangefunktion L über die Zeit stationär ist
	indem der Pfad mit einer stationären Wirkung berechnet wird (Hamiltonsches Prinzip)
	Die Trajektorie (Physik) eines Objektes wird im Lagrange-Formalismus bestimmt
	d. h. der Pfad
	Diese Betrachtungsweise vereinfacht viele physikalische Probleme
	denn im Gegensatz zur Newtonschen Formulierung der Bewegungsgesetze lassen sich im Lagrange-Formalismus Zwangsbedingungen relativ einfach durch Wahl geeigneter Koordinaten qi (generalisierte Koordinaten) berücksichtigen. Inhaltsverzeichnis showTocToggle("Anzeigen"
	"Verbergen") 1 Lagrangesche Bewegungsgleichungen 1.1 Beispiel 2 Erweiterung auf nicht-konservative Systeme 2.1 Beispiel 3 Erweiterung auf Systeme mit Nebenbedingungen [Bearbeiten]
Lagrangesche Bewegungsgleichungen
	Mit Hilfe der Variationsrechnung folgen aus dem Hamiltonschen Prinzip die Bewegungsgleichungen des Lagrange-Formalismus
	die (Euler-)Lagrange-Gleichungen: <math> {partial{L}over partial q_i} = {dover dt}{partial{L}over partial{dot{q}_i}} <math> Für jede generalisierte Koordinate qi (und die zugehörige generalisierte Geschwindigkeit <math>dot{q}_i<math>) gibt es eine solche Gleichung
	Die Lagrange-Gleichungen bilden ein System partieller Differentialgleichungen zweiter Ordnung
	Die Lagrange-Funktion L ergibt sich dabei zu L=T-V
	wobei T die kinetische Energie und V die potenzielle Energie aller Massenpunkte des Systems ist
	Richard Feynman (zusammen mit Albert Hibbs) hat
	diese Herangehensweise auch für die Herleitung der Gleichungen der Quantenmechanik verwendet
	im Gegensatz zu vielen anderen Physikern
	dass das Wirkungsintegral (bei dem über die Lagrange Funktion integriert wird) stationär wird (durch die Variation des Integrals erhält man die Differenzialgleichungen)
	In der klassischen Physik ergeben sich die oben beschriebenen Lagrange-Gleichungen aus der Forderung
	dass ein System einen bestimmten zeitlichen Verlauf erfährt (Pfadintegral)
	Feynman hat einen mathematischen Formalismus entwickelt
	in dem der Betrag des Wirkungsintegrals als Maß für die Wahrscheinlichkeit eingeht
	Hieraus ergibt sich dann (in einer mathematisch anspruchsvollen Herleitung) z
	B. die Schrödingergleichung
	die sich aus der Lagrange-Gleichung ergibt
	In dieser Theorie bilden klassische Systeme den Grenzfall
	bei dem außer der Systemtrajektorie
	alle anderen Trajektorien eine verschwindend geringe Wahrscheinlichkeit haben. [Bearbeiten]
Beispiel
	mit <math>omega=sqrt{c/m}<math> und c=const. [Bearbeiten]
	Bild nicht gefundenEin-Massen-Schwinger als harmonischer Oszillator Für einen eindimensionalen harmonischen Oszillator gilt <math>T=frac{1}{2} m dot{x}^2<math> <math>V=frac{1}{2} c x^2 <math> Mit x als generalisierter Koordinate folgt die Bewegungsgleichung direkt aus der Euler-Lagrange-Gleichung: <math>L=frac{1}{2}mdot{x}^2-frac{c}{2}x^2<math> <math>Rightarrow -c x = frac{mathrm{d}}{mathrm{d}t}left(mdot{x}right)<math> <math>Rightarrow ddot{x} = -frac{c}{m} x<math> Eine Lösung dieser Gleichung ist <math>x(t)=ccdotcos(omega t)<math>
Erweiterung auf nicht-konservative Systeme
	bei denen nicht alle Kräfte Potentialkräfte sind) lassen sich die Lagrangeschen Bewegungsgleichungen wie folgt formulieren: <math> {dover dt}{partial{T}over partial{dot{q}_i}}-{partial{T}over partial q_i} = Q_i <math> T: kinetische Energie Qi: generalisierte Kräfte Die generalisierten Kräfte bestimmt man aus der virtuellen Arbeit der eingeprägten Kräfte <math>delta W = sum_{i} Q_i;delta q_i<math> durch Vergleich der Koeffizienten von δqi [Bearbeiten]
	Für nicht-konservative Systeme (Systeme
Beispiel
	Bild nicht gefundenSchema eines Aufzuges Die Achse einer Aufzugtrommel wird durch ein Moment M angetrieben
	das Massenträgheitsmoment der Trommel ist J
	Die Masse der Last beträgt m
	Der Radius der Trommel ist r
	delta varphi<math> <math>Rightarrow ;Q = -mgr + M<math> Daraus folgt schließlich die Bewegungsgleichung <math>left( m r^2 + J right) ddot{varphi} = -mgr + M<math> Die Auflösung dieser Gleichung nach der Winkelbeschleunigung ergibt <math>ddot {varphi}=frac{-mgr + M}{left( m r^2 + J right)}<math> [Bearbeiten]
	delta x + M
	delta varphi = (-mgr + M)
	Zwischen den Koordinaten x und φ besteht folgende Beziehung: <math> x = r varphi<math> <math>Rightarrow ;dot{x} = r dot{varphi}<math> <math>Rightarrow ;delta x = r delta varphi<math> Die kinetische Energie ist: <math> T = frac{1}{2} left( m dot{x}^2 + J dot{varphi}^2 right) = frac{1}{2} left( m r^2 + J right) dot{varphi}^2 <math> Die virtuelle Arbeit der eingeprägten Kräfte ist <math> delta W = -mg
Erweiterung auf Systeme mit Nebenbedingungen
	t);delta q_i = 0 <math> (Nur bei holonomen Systemen lassen sich mit Hilfe der Nebenbedingungen überzählige Koordinaten eliminieren.) Für Systeme mit Nebenbedingungen lassen sich die Lagrangeschen Bewegungsgleichungen wie folgt formulieren: <math> {dover dt}{partial{T}over partial{dot{q}_i}}-{partial{T}over partial q_i} = Q_i + lambda_{k} a_{ki} <math> λk: beim Integrationsprozess zu bestimmende Lagrangesche Multiplikatoren Siehe auch: Hamilton-Formalismus en:Lagrangian mechanics es:Mecánica lagrangiana it:Meccanica lagrangiana ja:ラグランジュ力学 sl:Lagrangeeva formulacija gibalnih enaÄ?b
	dot{q}_1
	dot{q}_2 ... dot{q}_n
	q_2 ... q_n
	Zwischen den generalisierten Koordinaten mögen noch n Nebenbedingungen folgender Form existieren: <math> sum_i a_{ki}(q_1

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