Exponentialfunktion

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Exponentialfunktion

Stichpunkte

Allgemein
	Bild nicht gefunden Graph der Exponentialfunktion Die Exponentialfunktion ist eine der wichtigsten Funktionen der Mathematik
	Man schreibt sie als exp (x) oder ex (wobei e die Eulersche Zahl ist)
	Die Exponentialfunktion ist in der Differentialrechnung unentbehrlich. Inhaltsverzeichnis showTocToggle("Anzeigen"
	"Verbergen") 1 Definition 2 Rechenregeln 3 Ableitung: die "natÃ¼rliche" Bedeutung der Exponentialfunktion 4 Exponentialfunktion auf den komplexen Zahlen 5 Exponentialfunktion auf beliebigen Banachalgebren 6 Numerische BerechnungsmÃ¶glichkeiten 7 HintergrÃ¼nde und Beweise 7.1 Motivation 7.2 Konvergenzbeweise 7.2.1 Konvergenz der Reihendarstellung 7.2.2 Konvergenz der Folgendarstellung 7.2.2.1 Beweis der Monotonie 7.2.2.2 Beweis der BeschrÃ¤nktheit 7.2.2.3 Funktionalgleichung 7.3 Ungleichungen 7.3.1 AbschÃ¤tzung nach unten 7.3.2 AbschÃ¤tzung nach oben 7.3.3 Ableitung der Exponentialfunktion 8 Weblinks [Bearbeiten]
Definition
	Folgen und Reihen)
	Man kann die Exponentialfunktion auf zwei Arten definieren: <math>exp(x) = sum_{n = 0}^{infty} {x^n over n!}<math> <math>exp(x) = lim_{n to infty} left( 1 + {x over n} right)^n<math> (siehe Limes
	Das n! steht fÃ¼r "FakultÃ¤t von n". x kann eine beliebige reelle oder komplexe Zahl sein
	FÃ¼r reelle Argumente x ist die Exponentialfunktion exp(x) positiv und streng monoton wachsend
	der fÃ¼r alle positiven reellen Zahlen x definiert ist
	Deshalb existiert die Umkehrfunktion
	der natÃ¼rliche Logarithmus ln(x)
	Daraus erklÃ¤rt sich auch die Bezeichnung Antilogarithmus fÃ¼r die Exponentialfunktion. [Bearbeiten]
Rechenregeln
	kann man mit ihrer Hilfe das Potenzieren auf reelle und komplexe Exponenten verallgemeinern
	indem man defniert <math> a^x = exp{((ln{a}) x)} <math> fÃ¼r alle a > 0 und alle reellen oder komplexen x
	Da die Exponentialfunktion die Funktionalgleichung <math>exp(x+y)=exp(x)exp(y)<math> erfÃ¼llt
	Solche Funktionen heiÃŸen exponentiellen Funktionen und "verwandeln" Multiplikation in Addition
	Genauer zeigen das die folgenden Gesetze: <math>a^0=1<math> <math>a^1=a<math> <math>a^{x+y}=a^x a^y<math> <math>a^{(xy)}=left(a^xright)^y<math> <math>frac{1}{a^x}=left(frac{1}{a}right)^x = a^{-x}<math> <math>a^x b^x=(a b)^x<math> Diese Gesetze gelten fÃ¼r alle positiven reellen a und b und alle reellen oder komplexen x
	AusdrÃ¼cke mit BrÃ¼chen und Wurzeln kÃ¶nnen oft mit Hilfe der Exponentialfunktion vereinfacht werden: <math>frac{1}{a}=a^{-1}<math> <math>sqrt{a}=a^frac{1}{2}<math> <math>sqrt[n]{a}=a^frac{1}{n}<math> [Bearbeiten]
Ableitung: die "natÃ¼rliche" Bedeutung der Exponentialfunktion
	Die groÃŸe Bedeutung der Exponentialfunktion leitet sich aus der Tatsache ab
	dass ihre Ableitung wieder die Exponentialfunktion ist: exp'(x) = exp(x) Allgemeiner folgt fÃ¼r <math>a>0<math> aus <math> a^x = exp{((ln{a}) x)} <math> und der Kettenregel die Ableitung beliebiger exponentieller Funktionen: (d/dx) abx = ln(a) b abx. In dieser Formel kann der natÃ¼rliche Logarithmus nicht durch einen Logarithmus zu einer anderen Basis ersetzt werden; die Zahl e kommt also in der Differentialrechnung auf "natÃ¼rliche" Weise ins Spiel. [Bearbeiten]
Exponentialfunktion auf den komplexen Zahlen
	Bild nicht gefunden Realanteil der komplexen Exponentialfunktion Bild nicht gefunden ImaginÃ¤ranteil der komplexen Exponentialfunktion Wenn man die Exponentialfunktion auf den komplexen Zahlen definiert (Ã¼ber die gleichen Reihen)
	behÃ¤lt sie folgende wichtige Eigenschaften: exp(z + w) = exp(z) exp(w) exp(0) = 1 exp(z) â‰ 0 exp'(z) = exp(z) fÃ¼r alle z und w
	Die Exponentialfunktion ist holomorph und periodisch mit einer imaginÃ¤ren Periode 2Ï€i
	eine vielwertige Funktion ln(z)
	Deshalb ist die Umkehrfunktion im Komplexen
	der komplexe Logarithmus
	Man kann auch hier eine allgemeine Potenz definieren: zw = exp(ln(z) w) fÃ¼r alle komplexen z und w
	Das ist dann auch eine vielwertige Funktion
	<math> e^z = coshleft(zright) + sinhleft(zright)<math>. Die Eulersche Formel ermÃ¶glicht auch die Interpretation der Polarkoordinatendarstellung eine komplexen Zahl <math>z<math> als deren natÃ¼rlichen Logarithmus <math>ln(z)<math>. [Bearbeiten]
	<math>cos(z) := frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}<math>
	Die obigen Gesetze fÃ¼r Potenzen gelten weiterhin
	<math>{rm cosh}(z) := frac{e^z + e^{-z}}{2}<math>
	ebenso kann die Exponentialfunktion zur Definition der hyperbolischen Funktionen verwendet werden: <math>{rm sinh}(z) := frac{e^z - e^{-z}}{2}<math>
	aber fÃ¼r vielwertige Funktionen. Ãœber die Eulersche Formel <math> e^{i varphi} = cosleft(varphi right) + i sinleft( varphiright)<math> erzeugt die Exponentialfunktion die trigonometrischen Funktionen: <math>sin(z) := frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}<math>
Exponentialfunktion auf beliebigen Banachalgebren
	Die Exponentialfunktion lÃ¤sst sich auf Banachalgebren verallgemeinern
	Sie ist immer noch Ã¼ber die Reihe <math>exp(x) = sum_{n = 0}^{infty} {x^n over n!}<math> definiert
	die fÃ¼r alle mÃ¶glichen Werte absolut konvergiert
	da die Multiplikation dort kommutativ ist.) Einige Rechenregeln dieser Art fÃ¼r die Exponentiale von linearen Operatoren auf einem Banachraum liefern die Baker-Campbell-Hausdorff-Formeln
	die kommutieren
	Die wesentliche Eigenschaft der reellen (und komplexen) Exponentialfunktion <math>exp(x+y) =exp(x) cdot exp(y) <math> ist in dieser Allgemeinheit allerdings nur noch gÃ¼ltig fÃ¼r Werte x und y
	also fÃ¼r Werte mit xy = yx. (Dies ist in den reellen oder komplexen Zahlen natÃ¼rlich immer erfÃ¼llt
	Eine wichtige Anwendung dieser verallgemeinerten Exponentialfunktion findet sich beim LÃ¶sen von linearen Differentialgleichungen der Form y'=Ay mit konstanten Koeffizienten
	In diesem Fall ist die Banachalgebra die Menge der nxn-Matrizen mit komplexen EintrÃ¤gen
	in welcher die Exponentialmatrix eine endliche Berechnungsvorschrift hat
	Mittels der Jordanschen Normalform lÃ¤ÃŸt sich eine Basis bzw. Ã„hnlichkeitstransformation finden
	welche miteinander kommutieren
	so dass C-1AC=D+N
	wobei D eine Diagonalmatrix und N eine nilpotente Matrix sind
	Genauer gesagt
	man findet eine regulÃ¤re Matrix C
	C^{-1}<math> Das Exponential einer Diagonalmatrix ist die Diagonalmatrix der Exponentiale
	Es gilt damit <math>exp(tA)=Cexp(t(D+N))C^{-1}=Ce^{tD}sum_{k=0}^{n-1}frac{t^k}{k!}N^k
	das Exponential der nilpotenten Matrix ist ein matrixwertiges Polynom mit einem Grad
	der kleiner als die Dimension n der Matrix A ist. [Bearbeiten]
Numerische BerechnungsmÃ¶glichkeiten
	Als fundamentale Funktion der Analysis wurde viel Ã¼ber MÃ¶glichkeiten zur effizienten Berechnung der Exponentialfunktion bis zu einer gewÃ¼nschten Genauigkeit nachgedacht
	Dabei wird stets die Berechnung auf die Berechnung der Exponentialfunktion in einer kleinen Umgebung der Null reduziert und mit dem Anfang der Potenzreihe gearbeitet
	In der Analyse ist die durch die Reduktion notwendige Arbeitsgenauigkeit gegen die Anzahl der notwendigen Multiplikationen von HochprÃ¤zisionsdaten abzuwÃ¤gen
	welche auf <math>e^x=1+sum_{k=1}^Nfrac{x^k}{k!}+frac{x^{N+1}}{(N+1)!}
	Der Rest der N-ten Partialsumme hat eine einfache AbschÃ¤tzung gegen die geometrische Reihe
	r_n(x)<math> bei <math>\|r_N(x)\|
HintergrÃ¼nde und Beweise
	[Bearbeiten]
Motivation
	Auf die Exponentialfunktion stÃ¶ÃŸt man
	wenn man versucht
	das Potenzieren auf beliebige reelle Exponenten zu verallgemeinern
	Man geht dabei von der Rechenregel <math>a^{x+y}=a^x a^y<math> aus und sucht daher eine LÃ¶sung der Funktionalgleichung <math>f(x+y)=f(x)f(y)<math> mit <math>f(1)=a<math>
	so stÃ¶ÃŸt man auf den Ausdruck <math>frac{{rm d}a^x}{{rm d}x}=lim_{hto 0}frac{a^{x+h}-a^x}{h}=a^xlim_{hto 0}frac{a^{h}-1}{h}<math>. Was bedeutet nun <math>lim_{hto 0}frac{a^{h}-1}{h}<math>? Nennt man diesen Grenzwert <math>ln a<math>
	dass eine LÃ¶sung tatsÃ¤chlich existiert und berechnet deren Ableitung
	<math>ln a<math> muss dann also der Logarithmus zur Basis <math>e<math> sein) nach der Kettenregel formal <math>frac{{rm d}e^x}{{rm d}x}=frac{{rm d}a^{frac{x}{ln a}}}{{rm d}x}=a^{frac{x}{ln a}}frac{1}{ln a}lim_{hto 0}frac{a^{h}-1}{h}=a^{frac{x}{ln a}}=e^x<math>. <math>e<math> erfÃ¼llt dann vermutlich <math>lim_{hto 0}frac{e^{h}-1}{h}=1<math>. Wie kann man diese Zahl <math>e<math> berechnen? Setzt man rein formal <math>h=1/n<math> und lÃ¶st die Gleichung <math>frac{e^{1/n}-1}{1/n}=1<math>
	Nimmt man nun zunÃ¤chst einmal an
	so gilt fÃ¼r die durch <math>e:=a^{frac{1}{ln a}}<math> definierte Zahl <math>e<math> (bzw. <math>a=e^{ln a}<math>
	dann erhÃ¤lt man <math>e=left(1+frac{1}{n}right)^n<math>
	FÃ¼r die Zahl <math>e:=lim_{ntoinfty}left(1+frac{1}{n}right)^n<math> ist also zu vermuten
	dass <math>lim_{hto 0}frac{e^{h}-1}{h}=1<math> bzw. <math>frac{{rm d}e^x}{{rm d}x}=e^x<math> gilt
	also die eine Definition der Exponentialfunktion
	FÃ¼r <math>e^x<math> erhÃ¤lt man mit <math>m=nx<math> auch rein formal die Darstellung <math>e^x=lim_{ntoinfty}left(1+frac{1}{n}right)^{nx}=lim_{mtoinfty}left(1+frac{x}{m}right)^m<math>
	Alternativ kann man auch versuchen
	die Funktion <math>frac{{rm d}e^x}{{rm d}x}=e^x<math> in eine Taylorreihe zu entwickeln
	also <math>f^{(n)}(0) = 1<math>
	erhÃ¤lt man fÃ¼r die Talyorreihe an der Stelle 0 <math>e^x=sum_{n = 0}^{infty} {x^n over n!}<math>
	also genau die andere Definition der Exponentialfunktion
	Da per Induktion auch <math>frac{{rm d}^n e^x}{left({rm d}xright)^n}=e^x<math> gelten muss
	In weitere Folge ist dann zu zeigen
	dass die so definierte Exponentialfunktion tatsÃ¤chlich die gewÃ¼nschten Eigenschaften hat. [Bearbeiten]
Konvergenzbeweise
	[Bearbeiten]
Konvergenz der Reihendarstellung
	Die Konvergenz der fÃ¼r die Definiton der Exponentialfunktion verwendeten Reihe <math>exp(x) = sum_{n = 0}^{infty} {x^n over n!}<math> lÃ¤sst sich einfach mit dem Quotientenkriterium zeigen; daraus folgt sogar absolute Konvergenz. [Bearbeiten]
Konvergenz der Folgendarstellung
	da sie erstens ab einem gewissen Index monoton steigend und zweitens nach oben beschrÃ¤nkt ist. [Bearbeiten]
	Die fÃ¼r die Definiton der Exponentialfunktion verwendeten Folge <math>exp(x) = lim_{n to infty} left( 1 + {x over n} right)^n<math> ist fÃ¼r reelle <math>x<math> konvergent
Beweis der Monotonie
	die Folge ist daher fÃ¼r fast alle <math>n<math> monoton steigend. [Bearbeiten]
	Aus der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel folgt fÃ¼r <math>n>left\|xright\|<math> <math>sqrt[n+1]{left(1+frac{x}{n}right)^ncdot 1}leqfrac{1}{n+1}left(nleft(1+frac{x}{n}right)+1right)=1+frac{x}{n+1}<math>
Beweis der BeschrÃ¤nktheit
	Aus der Ungleichung vom harmonischen und geometrischen Mittel folgt fÃ¼r <math>n>left\|xright\|<math> <math>sqrt[n+1]{left(1+frac{x}{n-x}right)^ncdot 1}=sqrt[n+1]{left(frac{n}{n-x}right)^ncdot 1}geq frac{n+1}{1+nfrac{n-x}{n}}=1+frac{x}{n+1-x}<math>. FÃ¼r <math>xgeq 0<math> und <math>n_0>x<math> ist die Folge daher fÃ¼r alle <math>ngeq n_0<math> beschrÃ¤nkt: <math>left(1+frac{x}{n}right)^n leq left(1+frac{x}{n-x}right)^nleq left(1+frac{x}{n_0-x}right)^{n_0}<math>. FÃ¼r <math>xleq 0<math> und <math>n>left\|xright\|<math> gilt offensichtlich die Schranke <math>left(1+frac{x}{n}right)^n leq 1.<math> [Bearbeiten]
Funktionalgleichung
	Da <math>left(1+frac{x}{n}right)^n<math> und <math>left(1+frac{y}{n}right)^n<math> konvergieren
	konvergiert auch deren Produkt <math>left(1+frac{x}{n}right)^n left(1+frac{y}{n}right)^n= left(1+frac{x+y}{n}+frac{xy}{n^2}right)^n=left(1+frac{x+y}{n}right)^nleft(1+frac{xy}{n^2+n(x+y)}right)^n<math>. Ist nun <math>xy0<math> erhÃ¤lt man aus der einfach zu zeigenden Ungleichung <math>1+ule frac{1}{1-u}<math> fÃ¼r <math>u
Ungleichungen
	[Bearbeiten]
AbschÃ¤tzung nach unten
	FÃ¼r reelle <math>x<math> lÃ¤sst sich die Exponentialfunktion mit <math>exp(x)> 0<math> nach unten abschÃ¤tzen
	Der Beweis ergibt sich aus der Definition <math>exp(x) = lim_{n to infty} left( 1 + {x over n} right)^n<math> und der Tatsache
	dass <math> 1 + {x over n}> 0<math> fÃ¼r hinreichend groÃŸe <math>n<math>
	Da die Folge monoton wachsend ist
	ist der Grenzwert daher echt grÃ¶ÃŸer Null
	Diese AbschÃ¤tzung lÃ¤sst sich zur wichtigen Ungleichung <math>exp(x)geq 1+x <math> verschÃ¤rfen
	fÃ¼r <math>xgeq -1<math> ergibt sich der Beweis beispielsweise
	FÃ¼r <math>xleq-1<math> folgt sie aus <math>exp(x)geq 0<math>
	indem man die Bernoullische Ungleichung auf die Definition <math>exp(x) = lim_{n to infty} left( 1 + {x over n} right)^n<math> anwendet
	Eine Anwendung dieser Ungleichung ist der Polya-Beweis der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel
	benÃ¶tigt der Polya-Beweis Herleitungen der Exponentialfunktion
	die ohne Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel auskommen. [Bearbeiten]
	Allerdings erleichtert die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel die Untersuchung der Folge <math>left( 1 + {x over n} right)^n<math> sehr; um daher einen Zirkelschluss zu vermeiden
AbschÃ¤tzung nach oben
	Aus der einfach zu zeigenden Ungleichung <math>1+ule frac{1}{1-u}<math> fÃ¼r <math>u
Ableitung der Exponentialfunktion
	Die wichtigste Anwendung dieser beiden AbschÃ¤tzungen ist die Berechnung der Ableitung der Exponentialfunktion an der Stelle 0: <math>1=lim_{hto 0}frac{1+h-1}{h}lelim_{hto 0}frac{exp(h)-1}{h}lelim_{hto 0}frac{frac{1}{1-h}-1}{h}=lim_{hto 0}frac{1}{1-h}=1<math>. Gemeinsam mit der Funktionalgleichung <math>exp(x+y)=exp(x)exp(y)<math> folgt daraus die Ableitung der Exponentialfunktion fÃ¼r beliebige reelle Zahlen: <math>exp'(x)=lim_{hto 0}frac{exp(x+h)-exp(x)}{h}=exp(x)lim_{hto 0}frac{exp(h)-1}{h}=exp(x).<math> [Bearbeiten]
Weblinks
	http://planetmath.org/encyclopedia/ExponentialFunction.html auf Englisch da:Eksponentialfunktion en:Exponential function es:FunciÃ³n exponencial fr:Exponentielle he:×¤×•× ×§×¦×™×” ×ž×¢×¨×™×›×™×ª ja:æŒ‡æ•°é–¢æ•° ko:ì§€ìˆ˜í•¨ìˆ˜ nl:ExponentiÃ«le functie pl:Funkcja wykÅ‚adnicza pt:FunÃ§Ã£o Exponencial ru:ÐŸÐ¾ÐºÐ°Ð·Ð°Ñ‚ÐµÐ»ÑŒÐ½Ð°Ñ? Ñ„ÑƒÐ½ÐºÑ†Ð¸Ñ? su:Exponential function

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Dieser Artikel basiert auf dem Artikel Exponentialfunktion aus der freien Enzyklopädie wikipedia und steht unter der GNU Lizenz für freie Dokumentation. In der wikipedia ist eine Liste der Autoren verfügbar.

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Ableitung: die "natÃ¼rliche" Bedeutung der Exponentialfunktion

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Konvergenz der Reihendarstellung

Konvergenz der Folgendarstellung

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