Allgemein

Hej zusammen,

es ist gut, daß Ihr Euch über die mathematische (Un-)Bedenklichkeit auseinandersetzt. Allerdings sollte in einer Enzyklopädie Allgemeinverständlichkeit vordringliches Anliegen vor fachlicher Brillianz sein. Ich arbeite auf mein Diplom hin (sprich: zur "Dummheitselite" gehöre ich bestimmt nicht; nur war Mathe nie meine Stärke), bin aber nach Lektüre des Artikels genau so schlau wie vorher. Das ist übrigens leider ein generelles Problem von vielen mathematischen Artikeln hier in der Wikipedia! Wäre schön, wenn sich darum mal wer kümmern könnte. --Carbenium 08:17, 5. Jul 2004 (CEST)

Generell: Gegen die Unverständlichkeit mathematischer Artikel gibt es ein probates Mittel: Stelle auf der Diskussionsseite des jeweiligen Artikels konkrete Fragen - und ich möchte wetten, dass sich recht bald jemand bemüht, diese Fragen zu beantworten. Radikaler: lege im jeweiligen Artikel einen Absatz "naive Herleitung" oder "anschauliche Definition" oder "XY in der Ingenieurmathematik" an, tippe einfach mal ein, was Du von der Sache in erster Näherung schon verstanden hast, und ich wette wiederum, dass nette Menschen Deinen Ansatz aufgreifen und ausarbeiten werden.

Speziell zu Tensor: Dieser Begriff ist so schwer zu erklären, weil er in ganz unterschiedlichen Anwendungen in ganz unterschiedlicher mathematischer Tiefe eingeführt wird. Ich versuche hier etwas Konsistentes zu schaffen, während in der englischen Wikipädie an mehreren Tensor-Artikeln parallel gearbeitet wird. Bin aber selber mit dem bisher Geschriebenen noch nicht zufrieden. Auch hier kann ich Dir

 nur antworten: Stelle konkrete Fragen, kritisiere konkrete Teile des existierenden Textes, liefere Rohmaterial zu. -- Weialawaga 08:58, 5. Jul 2004 (CEST)

Im Prinzip stimme ich der Forderung nach Allgemeinverständlichkeit zu, aber es ist schwierig, dies einfach zu formulieren, ohne sich zunächst der Details bewusst zu werden. Was ich gerne hätte wäre eine Art objektorientierte Vorgehensweise, bei der Themen sowohl verallgemeinert als auch weiter spezialisiert werden können. Allerdings weiss ich momentan nicht, wie man das realisieren könnte. Eine nur allgemeinverständliche Beschreibung eines Sachverhaltes kann auch ziemlich langweilig sein, wenn man nach einem Verständnis des Begriffes sucht. Wichtig ist auch, dass das Geschriebene begründet wird, sonst kann ein Leser den Text glauben oder auch nicht. Den Abschnitt über Tensor-Würfel verstehe ich z.B. überhaupt nicht.

Gruss WoSa

Inhaltsverzeichnis

1 Komplexe Tensoren 2 Gabelung der Begriffswelten 3 Beseitigung der Redundanz 4 Mathematisches 5 ??? 6 Tensorprodukt

Komplexe Tensoren

Ich bin im Moment eher müde als mutig, aber ich meine , daß dieser Satz völlig in die Irre geht: Tensoren stützen sich auf Vektorräume über dem Körper R der reellen Zahlen. Deshalb kann man in der Quantenmechanik, die über dem komplexen Zahlkörper C formuliert wird, Tensoren nicht ohne weiteres verwenden; ein verwandtes Konzept ist jedoch der Spinor., angefangen damit, daß es komplexe Tensoren gibt. Ich melde mich die nächsten Tage ausgeschlafen zurück, aber vielleicht hat ja jemand diese Diskussionsseite unter Beobachtung und könnte mal etwas dazu sagem. -- Pjacobi 21:00, 28. Jul 2004 (CEST)

Bist Du mit der gekürzten Neufassung der Passage einverstanden ? Irgendwo anders sollte man allerdings erwähnen, dass Tensoren in der Physik im Normalfall über R definiert sind. Magst Du nicht ein Beispiel für eine Anwendung komplexer Tensoren einbauen ? -- Weialawaga 10:31, 29. Jul 2004 (CEST)

Es ist besser als vorher und ich werde die demnächst anstehende Edit-Pause wg. UTF-8 zum Nachdenken über eine Erweiterung benutzen. -- Pjacobi 19:28, 29. Jul 2004 (CEST)

Gabelung der Begriffswelten

Interessant finde ich den Abschnitt zur Gabelung der Begriffswelten. Das ganze ist mir schon früher aufgefallen, und ich habe mich schon öfter gefragt warum das eigentlich so ist. Man sollte meiner Meinung nach aber die Schuld nicht alleine bei den Ingenieuren und Physikern suchen, letztendlich sind auch die Mathematiker für die Akzeptanz ihrer Begriffsstrukturen verantwortlich, und viele der Begriffe, die in der "modernen" Differentialgeometrie Verwendung finden, wurden bereits 1930 von Wheeler eingeführt. Warum gibt es innerhalb der letzten 70+ Jahre dafür keine Akzeptanz in weiten Teilen der theoretischen Physik? Liest man das Buch von Straumann, so sehen viele der detaillierteren Rechnungen auch nicht anders als bei Fliessbach aus, und letzterer benutzt ausschließlich die "veraltete Terminologie". Zur Zeit von Newton war es so, dass er die Mathematik zur Lösung seiner Probleme gleich mitenwickeln mußte.

Vielleicht eignet sich ein etwas unpräziserer Formalismus auch eher zur Anpassung an neu auftauchende Problemstellungen, als wenn eine Modifizierung der axiomatischen Grundlagen vorgenommen werden muss, z.B. habe ich viele der in der Allgemeinen Relativitätshteorie verwendeten Formalismen in einem Seminar über Hadronen wiedergefunden.

Dass ein höherer Abstraktionsgrad in der Mathematik allein zu einem besseren Naturverständnis führt, glaube ich nicht. In der Riemannschen Geometrie gibt es z.B. keine Nullgeodäten, die brauchte Einstein aber zur Klassifizierung von Lichtstrahlen.

Beseitigung der Redundanz

Vergleich von Tensordefinitionen könnte man unter Metrischer Tensor einfügen, da der Artikel nur den unterschiedlichen Gebrauch von Definitionen des Metrischen Tensors miteinander vergleicht.

Gruss WoSa 20:10, 14. Nov 2004 (CET)

Vergleich von Tensordefinitionen kann vielleicht nach Metrischer Tensor der speziellen Relativitätstheorie integriert werden und ist ansonsten verzichtbar.--Gunther 14:38, 27. Feb 2005 (CET)

Mathematisches

kovariant/kontravariant: Ein Vektor als geometrisches Objekt transformiert sich immer mit den Basisvektoren, was gemeint ist, ist der Spaltenvektor der Koordinaten, welcher sich, bei gleichbleibendem Vektor, entgegen der Basistransformation transformiert.

Das Skalarprodukt mit einem Punkt zu bezeichnen ist veraltet und mißverständlich.

Das Differential ist die Jacobi-Matrix der Ableitungen, also das ursprüngliche Objekt. Es ist die 1-Form, die einem Vektor seine Richtungsableitung zuordnet. Der Gradient ist der mittels Metrik aus dem Differential gewonnene Vektor. Der Unterschied von Differential und Gradient, der in der invertierten Metrik-Matrix besteht, ist in der allgemeinen Relativitätstheorie und generell auf gekrümmten Mannigfaltigkeiten immens wichtig.

In der Differentialgeometrie zählen nicht nur Differentialformen, so ist das bewegte Dreibein bzw. Cartans "Moving Frame" ein Tupel von Tangentialvektoren, ebenfalls wichtig sind Vektorfelder, u.a. auch Gradientenfelder, für dynamische Systeme und in der Differentialtopologie.

--LutzL 18:40, 13. Dez 2004 (CET)

???

Wurde aus dem Artikeltext in die Diskussion getan:

??? So wäre ein Beispiel für ein geometrisches Objekt, das sich nicht als Tensor beschreiben lässt, ein Phasendiagramm, wie es in der Thermodynamik verwendet wird. Dieses beschreibt die Aggregatszustände eines Stoffes in Abhängigkeit von den Zustandsgrößen (Temperatur, Druck und Volumen) als dreidimensionale Fläche. Da hier die Koordinatenachsen mit unterschiedlichen Einheiten belegt sind, macht eine Drehung des Systems keinen Sinn. ???

--Philipendula 11:52, 1. Feb 2005 (CET)

Ja kannst du das jetzt bestätigen oder widerlegen? Ich habe diesen Absatz v.A. deshalb eingefügt, weil auf eben dieser Diskussionsseite hier weiter oben 1. die mangelnde Anschaulichkeit beklagt wird, was ich voll unterstützen muss, und weil 2. gesagt wurde, man solle doch, wenn man denkt, etwas verstanden zu haben, dies mit einfügen. Ich finde, dass sich das was ich geschrieben habe durchaus plausibel anhört, habe mich allerdings noch nicht lange genug mit dem Thema beschäftigt, um mir sicher zu sein. Deshlb die Fragezeichen. Auf diese Seite hier habe ich es deshalb nicht gestellt, da ich denke, so mehr Leute zu Verbesserungen anregen zu können. Dass es gleich kommentarlos gelöscht wird, hätte ich nicht gedacht.

--217.246.161.133 13:18, 1. Feb 2005 (CET)

Hi, als Einsicht ist es ja nicht falsch, aber es ist an der vorherigen Stelle im Text in etwa so sinnvoll wie die Aussage, dass es nachts dunkel ist. Insgesamt teile ich die Meinung, dass der Text grausam ist, was auch mit der Ablehnung der Physiker gegen geometrische Objekte zu tun hat, d.h. den mathematischen Weg: geometrisches Objekt zuerst, Koordinatendarstellung dann. Die Physiker mögen es gern andersherum, d.h. Koordinaten und deren Transformationseigenschaften zuerst, um dann auf ein geometrisches Objekt zu schließen, Galilei rotiert im Grabe. Deshalb sieht die Reihenfolge hier auch aus wie

1.) ein Tensor ist eine Abbildung T:I^s->IR, I={1,2,...,n}, also eine Art Hypertupel, bei s=1 kommt ein normales n-Tupel raus, bei s=2 eine Matrix.

2.) Ein Tensor ist eine Äquivalenzklasse von Tripeln aus einer Basis B eines fixierten n-dim. Vektorraums V, einer Signatur S in {h,t}^s und eines Hypertupels T:I^s->IR, I={1,2,...,n}, wobei {h,t} für Hoch- und Tiefstellen des entsprechenden Index steht und zwei Paare über die Basiswechselmatrix verbunden sind, welche (t)-ko- und (h)-kontravariant die Hypertupel verknüpft. Dann stellt man fest, dass (B,(h),T) den Koordinaten eines Vektors in der Basis B, d.h. einem Vektor aus V entspricht, dass (B,(t),T) genauso einem Kovektor/1-Form/linearen Funktional auf V entspricht, dass (B,(t,t),T) einer Bilinearform VxV->IR entspricht, dass (B,(h,t),T) einer linearen Abbildung V->V bzw. einer Bilinearform V^*xV->IR, insgesamt dass jeder Tensor eine Multilinearform definiert, was dann zu

3.) führt, dass ein Tensor ein Element eines Tensorproduktraums <math>V_1\otimes V_2\otimes\dots\otimes V_s</math> ist und dieser als der Vektorraum aller Multilinearformen, d.h. Abbildungen die in jedem Argument einzeln linear sind, <math>V_1^*\times V_2^*\times\dots\times V_s^*\to\mathbb R</math> definiert werden kann. Jede simultane Basiswahl in allen Faktoren im Tensorprodukt ergibt eine Basis des Tensorprodukts, wenn die Faktoren entweder V oder der Dualraum V^* sind, und die Basen alle gleich bzw. gleich der dualen Basis sind, dann landen wir wieder bei 2.)

4.) gibt es alternierende Tensoren bzw. Multilinearformen, diejenigen n-ter Stufe in einem n-dimensionalen Vektorraum sind die sog. Pseudoskalare, die alternierenden Tensoren der Stufe n-1 sind die sog. Pseudovektoren.

--LutzL 14:40, 1. Feb 2005 (CET)

Tensorprodukt

Ich bin unglücklich über den Redirect von Tensorprodukt auf diesen Artikel. Zum Tensorprodukt gäbe es viel mehr zu sagen, und aus dieser Kurzfassung der universellen Eigenschaft wird vermutlich niemand schlau. Dennoch ist natürlich das Tensorprodukt die (theoretische) Basis des ganzen Tensorbegriffs. Vorschlag: Aufteilung des Artikels in

• Charakterisierung von Tensoren über das Transformationsverhalten
• Formale Definition und universelle Eigenschaft (kann eigener Artikel werden)
• Beziehung zwischen beiden

Meinungen?--Gunther 14:57, 27. Feb 2005 (CET)

Nachtrag: unter Benutzer:Gunther/Tensorprodukt schreibe ich gerade an einem möglichen Artikel für Tensorprodukt.--Gunther 13:52, 1. Mär 2005 (CET)