Chaostheorie

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Chaostheorie

Stichpunkte

Allgemein
	die eine Reihe von PhÃ¤nomenen aufweisen
	Die Chaostheorie beschÃ¤ftigt sich als ein Teilgebiet der Mathematik und Physik mit bestimmten nichtlinearen dynamischen Systemen
	die man zusammengenommen als Chaos bezeichnet
	dass beliebig kleine Ã„nderungen in den Anfangsbedingungen zu einer qualitativ verÃ¤nderten Dynamik des Systemes fÃ¼hren
	der besagt
	Hierzu zÃ¤hlt auch der so genannte Schmetterlingseffekt
	Die Chaostheorie geht unter anderem auf Arbeiten von Edward N
	Lorenz
	Benoit Mandelbrot und Henri PoincarÃ© zurÃ¼ck
	Internet und das BevÃ¶lkerungswachstum. Inhaltsverzeichnis showTocToggle("Anzeigen"
	WirtschaftskreislÃ¤ufe
	Turbulenz
	Plattentektonik
	Klima
	Beispiele fÃ¼r chaotische Systeme sind Wetter
	"Verbergen") 1 Sensitive AbhÃ¤ngigkeit von den Anfangsbedingungen 1.1 Die Rolle der Zustandsvariablen 1.2 RÃ¼ckkopplung 2 Bezug zur Quantentheorie 3 Beschreibungsweisen chaotischer PhÃ¤nomene 3.1 Qualitative Beschreibung durch seltsame Attraktoren im Phasenraum 3.2 Quantitative Beschreibung 4 InterdisziplinaritÃ¤t 5 Paradigmenwechsel? 6 Siehe auch 7 Literatur 8 Weblinks [Bearbeiten]
Sensitive AbhÃ¤ngigkeit von den Anfangsbedingungen
	Anders als der Begriff Chaos in der Umgangssprache charakterisiert der Begriff hier nicht den Zustand eines Systems
	wie beispielsweise seine Unordnung
	das heiÃŸt seine Dynamik
	sondern sein zeitliches Verhalten
	Genau genommen ergibt sich chaotisches Verhalten dann
	wenn die aus einer Ã„nderung der Anfangsbedingungen resultierenden Unterschiede in der zeitlichen Entwicklung eines Systems zunÃ¤chst exponentiell mit der Zeit anwachsen anstatt linear oder polynomial
	so dass auch dem Wachstum dieser Unterschiede eine Grenze gesetzt ist
	das System aber beschrÃ¤nkt ist
	das mit den Zustandsvariablen bzw
	Anhand klassischer Experimente in der Physik Galileis und anderen zeigt sich
	dass schon bei geringfÃ¼gigen Ã„nderungen in den Anfangsbedingungen eines Systems (schwingendes Pendel
	also deterministische
	Geschwindigkeit
	Systeme nicht-lineare bzw. chaotische Eigenschaften aufweisen (beispielsweise AperiodizitÃ¤t) und sind in ihrer Dynamik unvorhersehbar
	Luftwiderstand/Dissipation beschrieben wird) groÃŸe und Ã¼berraschende Effekte auf den Zustand und die Dynamik des Systems entstehen kÃ¶nnen. Folglich kÃ¶nnen klassische mechanische
	Parametern Ort
	Ihre SystemzustÃ¤nde lassen sich somit zum Beispiel nicht in linearen Gleichungen erfassen
	Nicht-lineare Gleichungen zur Analyse und Beschreibung von dynamischen Systemen sind bis heute aber nur schwer oder nur numerisch lÃ¶sbar
	Trotz des prinzipiellen Determinismus Ã¼bersteigen jedoch die Anforderungen an die PrÃ¤zision der Kenntnis der Anfangsbedingungen fÃ¼r die Vorhersage des Verhaltens fÃ¼r einen bestimmten Zeitraum rasch die MÃ¶glichkeiten praktischer Messgenauigkeit um astronomische Faktoren
	die je nach System durchaus im Bereich von Sekunden oder weniger liegen kÃ¶nnen. [Bearbeiten]
	ist eine praktische Vorhersage daher prinzipiell nur fÃ¼r mehr oder weniger kurze Zeitspannen mÃ¶glich
	Obwohl solche Systeme theoretisch dem Determinismus unterliegen
Die Rolle der Zustandsvariablen
	die die langfristigen Trends des Erdklimas beeinflussen
	Die Beobachtung beispielsweise des System "Erdklima" muss praktisch unendlich viele Kombinationen von Zustandsvariablen einbeziehen (zum Beispiel Wetterzyklen)
	bekannt und unbekannt
	Mit anderen Worten: die Trefferquote von Vorhersagen fÃ¼r das aktuelle Wetter oder grundlegender Klimatrends ist von der hinreichenden Kenntnis von Wetter- bzw
	Klima entscheidender Zustandsvariablen abhÃ¤ngig
	In diesem Sinne ist beispielsweise die Wettervorhersage von vielen
	zum Teil unbekannten oder kaum messbaren Faktoren und praktisch unbestimmbaren Wirkungsketten abhÃ¤ngig. [Bearbeiten]
RÃ¼ckkopplung
	Solche schwer zu erfassenden systemischen Wechselwirkungen finden in der Chaosforschung ihren Ausdruck in dem Grundsatz: "Alles hÃ¤ngt irgendwie mit Allem zusammen"
	So kann etwa der "FlÃ¼gelschlag" (stellvertretend fÃ¼r eine minimale VerÃ¤nderung eines einzelnen Faktors am Anfang) eines Schmetterlings im Amazonas einen Gewittersturm Ã¼ber Europa (ein groÃŸer Effekt auf den Endwert) im globalen Wettersystem auslÃ¶sen (siehe Schmetterlingseffekt)
	die ihrerseits wieder zu weiteren unvorhersehbaren Dynamiken im System fÃ¼hren (Iteration: RÃ¼ckkoppelungseffekt)
	Jede noch so winzige Ã„nderung des Anfangszustandes in einem System fÃ¼hrt zu neuen System(-anfangs)zustÃ¤nden
	Die KausalitÃ¤t solcher PhÃ¤nomene ist weitgehend unerforscht. [Bearbeiten]
Bezug zur Quantentheorie
	Durch die extremen Anforderungen an die Genauigkeit der Anfangsbedingungen lÃ¤sst sich Ã¼ber die Heisenbergsche UnschÃ¤rferelation ein Bezug zur Quantentheorie herstellen
	Danach sind Ort und Geschwindigkeit eines Teilchens nicht gleichzeitig beliebig genau definiert
	Diese EinschrÃ¤nkung ist gewÃ¶hnlich nur im Mikrokosmos relevant
	Die Vorhersagbarkeit makroskopischer chaotischer Systeme stÃ¶ÃŸt jedoch frÃ¼her oder spÃ¤ter ebenfalls an die Grenze dieser UnschÃ¤rferelation
	Damit sind chaotische Systeme hinsichtlich ihres deterministischen Charakters quantenmechanische Systeme
	dass sie aufgrund der begrenzten GÃ¼ltigkeit der klassischen Physik prinzipiell nicht deterministisch sind. [Bearbeiten]
	Das bedeutet
Beschreibungsweisen chaotischer PhÃ¤nomene
	[Bearbeiten]
Qualitative Beschreibung durch seltsame Attraktoren im Phasenraum
	Wesentlich fÃ¼r die exakte Beschreibung nichtlinearer Systeme ist das Modell des Phasenraums
	der sozusagen die zeitliche Abfolge jeweils spezifischer Kombinationen von gemessenen Zustandsvariablen bzw
	d. h. dass sich spezifische SystemzustÃ¤nde auf einer Zeitachse erfassen lassen
	Parametern abbildet
	Jeder dieser messbaren ZustÃ¤nde stellt einen Punkt bzw. eine Kombination von Zustandsvariablen im Phasenraum dar
	Derartige Punkte sind so genannte Attraktoren
	dies sind temporÃ¤re GleichgewichtszustÃ¤nde im Phasenraum wie zum Beispiel Anfangs- oder EndzustÃ¤nde eines dynamischen Systems
	also Bahnenkurven von sich nicht Ã¼berschneidenden
	Die Wirkungsrichtung von Attraktoren manifestiert sich in Trajektorien
	temporÃ¤ren GleichgewichtszustÃ¤nden (=spezifische Kombinationen von Zustandsvariablen bzw
	Attraktoren)
	u.a. stabile FixzustÃ¤nde und Grenzzyklen; am bekanntesten sind wohl die chaostypischen "seltsamen Attraktoren" wie der Lorenz-Attraktor. [Bearbeiten]
	Unterschieden werden verschiedene Formen von Attraktoren
Quantitative Beschreibung
	Kolmogorov-Entropie
	metrische Entropie
	Siehe einstweilen: Lyapunov-Exponenten
	fraktale Dimension [Bearbeiten]
InterdisziplinaritÃ¤t
	Doktoranden) bezeichnen kÃ¶nnte
	Geometrie/Mathematik
	Wirtschaftswissenschaften oder Meteorologie
	die man als akademische Querdenker (Studenten
	Die Chaosforschung verbindet eine Reihe von Forschern aus verschiedenen Disziplinen wie der Physik
	Biologie
	Historisch gesehen handelt es sich um PersÃ¶nlichkeiten
	die im akademischen Betrieb kaum bekannt waren wie z.B
	Benoit Mandelbrot
	Farmer
	Methoden und Denkweisen aus der Chaosforschung aber auch auf weitere Bereiche
	Lorenz u. a. Ãœbertragen wurden Prinzipien
	wie beispielsweise die Stadtforschung. [Bearbeiten]
Paradigmenwechsel?
	Oft wird im Zusammenhang mit der Chaostheorie von einem Paradigmenwechsel in der Physik durch die Formulierung der Chaostheorie gesprochen
	Dabei wird jedoch Ã¼bersehen
	dass in der Physik bereits seit der Entwicklung der Quantentheorie in den 1920er Jahren der Determinismus kein grundlegendes Prinzip der Beschreibung der Natur mehr darstellt
	Der Umstand
	dass man sich erst gegen Ende des 20
	ist lediglich darin begrÃ¼ndet
	Jahrhunderts der Erforschung chaotischer Systeme zugewandt hat
	dass es erst seit dieser Zeit die dazu erforderlichen Computer gibt
	Die Chaostheorie basiert vollstÃ¤ndig auf den Konzepten der klassischen Physik
	Ihre wesentlichen Neuentdeckungen bestehen darin
	in der Dynamik chaotischer Prozesse wiederum Ordnungsstrukturen entdeckt zu haben wie beispielsweise die so genannten seltsamen Attraktoren. [Bearbeiten]
Siehe auch
	Bifurkation
	Volterra-Gesetze
	Systemtheorie
	Logistische Gleichung
	Komplexe Systeme
	Chris Langtons Ameise (Turingmaschine)
	Schmetterlingseffekt
	Mitchell Feigenbaum [Bearbeiten]
Literatur
	GÃ¼nter KÃ¼ppers [1] (http://www.uni-bielefeld.de/iwt/kueppers/): Chaos und Ordnung
	F
	Reclam
	Ditzingen
	1996
	Broschiert
	ISBN 3-15009434-8 John Briggs
	384 Seiten
	David Peat [2] (http://www.fdavidpeat.com/): Die Entdeckung des Chaos
	ISBN 3-42333047-3 [Bearbeiten]
	Dtv
	Broschiert
	330 Seiten
	1999
Weblinks
	Chaostheorie-Forum (http://www.chaostheorie.de) en:Chaos theory es:Sistemas dinÃ¡micos y teorÃa del caos fr:ThÃ©orie du chaos it:Teoria del caos ja:ã‚«ã‚ªã‚¹ç?†è«– th:à¸—à¸¤à¸©à¸Žà¸µà¹€à¸„à¸à¸à¸ª he:תורת הכאוס nl:Chaostheorie tr:Dinamik Sistemler ve Kaos Teorisi

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Die Rolle der Zustandsvariablen

RÃ¼ckkopplung

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Qualitative Beschreibung durch seltsame Attraktoren im Phasenraum

Quantitative Beschreibung

InterdisziplinaritÃ¤t

Paradigmenwechsel?

Siehe auch

Literatur

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