Stichpunkte

Allgemein
	In der Mathematik ist eine Cauchy-Folge eine spezielle
	vor allem in der Analysis verwendete Art von Folgen
	Sie sind nach dem französischen Mathematiker Augustin Louis Cauchy benannt
	wenn auf <math>X<math> eine Metrik <math>d<math> vorhanden ist
	Cauchy-Folgen in einer Menge <math>X<math> kann man nur definieren
	d)<math> wird dann als metrischer Raum bezeichnet
	Das Paar <math>(X
	Die Menge der reellen Zahlen mit dem gewöhnlichen Abstand <math>d(x
	y)=|x-y|<math> (siehe absoluter Betrag) ist zum Beispiel ein metrischer Raum. [Bearbeiten]
Definition
	Sei <math>(X
	d)<math> ein metrischer Raum
	Eine Folge <math>(x_i) _{iin mathbb{N}} <math> in <math>X<math> heißt Cauchy-Folge
	x_n) < varepsilon&lt;math&gt;
	so dass für alle natürlichen Zahlen &lt;math&gt; ngeq m > N&lt;math&gt; gilt: &lt;math&gt;d(x_m
	ngeq m>N:d(x_m
	minmathbb{N}
	wenn gilt: &lt;math&gt;forall varepsilon>0 exists Ninmathbb{N} forall n
	x_n) < varepsilon&lt;math&gt; Das bedeutet: Zu jedem reellen &lt;math&gt;varepsilon > 0&lt;math&gt; gibt es eine natürliche Zahl &lt;math&gt;N&lt;math&gt; (Index)
	in der Kugel B(xN
	ε) um den Punkt xN mit Radius ε liegen. [Bearbeiten]
	so dass alle nachfolgenden Folgenglieder xn
	Geometrisch verständlicher ist die Formulierung: Für jeden Radius &lt;math&gt;varepsilon > 0&lt;math&gt;
	und sei er noch so klein
	welches einen sehr großen Index N aufweisen kann
	gibt es ein Folgenglied xN
	n&gt;N
Beispiele
	Wenn nichts anderes gesagt wird
	beziehen sich die Beispiele auf die reellen Zahlen mit dem gewöhnlichen Abstand. Die Folge &lt;math&gt;x_n = 1/n&lt;math&gt; ist eine Cauchy-Folge: Sei &lt;math&gt;varepsilon>0&lt;math&gt; beliebig vorgegeben
	dass &lt;math&gt;N>1/varepsilon&lt;math&gt; erfüllt ist
	Wähle &lt;math&gt;N&lt;math&gt; so
	und &lt;math&gt;N&lt;math&gt; eine beliebige natürliche Zahl
	Seien &lt;math&gt;ngeq m>N&lt;math&gt; beliebig
	x_n) = |1/m - 1/n| = left|frac{n-m}{mn}right| leq frac{n}{mn} = frac{1}{m} < frac{1}{N} < varepsilon&lt;math&gt; Die Folge &lt;math&gt;x_n = n&lt;math&gt; ist keine Cauchy-Folge: Sei &lt;math&gt;varepsilon=1/2&lt;math&gt; gewählt
	dann gilt: &lt;math&gt;d(x_m
	Dann wähle &lt;math&gt;m=N+1&lt;math&gt; und &lt;math&gt;n=m+1&lt;math&gt;
	x_m) = |n-m| = 1 > varepsilon&lt;math&gt;
	Es ist dann &lt;math&gt;d(x_n
	die Bedingung einer Cauchy-Folge ist also nicht erfüllt. [Bearbeiten]
Eigenschaften
	Ein metrischer Raum
	in dem jede Cauchy-Folge konvergiert
	wird vollständiger Raum genannt
	der Element des Raumes ist
	in einem solchen Raum besitzt jede Cauchy-Folge einen Grenzwert
	Das heißt
	die Umkehrung gilt aber nicht immer
	Konvergente Folgen sind stets Cauchy-Folgen
	Zum Beispiel sind die reellen Zahlen mit dem gewöhnlichen Abstand vollständig
	aber die rationalen Zahlen nicht. en:Cauchy sequence fr:Suite de Cauchy it:Successione fondamentale ja:コーシー列 nl:Cauchyrij pl:CiÄ…g Cauchy'ego ru:ФундаментальнаÑ? поÑ?ледовательноÑ?Ñ‚ÑŒ

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